Elemente de Teoria probabilităților

În teoria probabilităților, noțiunile primare sunt probabilitatea și evenimentul.
În mod informal, putem caracteriza probabilitatea ca fiind :
un număr cuprins între 0 și 1;
un număr mai aproape de 0 înseamnă „nu este probabil”;
un număr mai aproape de 1 înseamnă „destul de probabil”.
Dacă probabilitatea unui eveniment este exact 0, atunci evenimentul nu poate apărea. Dacă probabilitatea unui eveniment este exact 1, atunci evenimentul va avea loc cu siguranță.
Există trei moduri de a atribuie unui eveniment o anumită valoare de probabilitate:
abordarea opiniei personale
Această abordare este cea mai simplă în practică, dar prin urmare este și cea mai puțin fiabilă.
De exemplu:
„Cred că astăzi există șanse de ploaie de 85%.”
„Cred că există o șansă de 50% ca rezervele de petrol din lume să se epuizeze până în anul 2200”.
abordarea frecvenței relative
Pentru a determina probabilitatea unui eveniment A, P(A),  utilizând  abordarea  frecvenței relative, se parcurg următoarele trei etape:
se efectuează un experiment de n ori;
se numără de câte ori a apărut evenimentul A, N(A);
probabilitatea evenimentului A este egală cu: P(A)=(N(A))/n
Abordarea relativă a frecvenței este utilă atunci când abordarea clasică descrisă în continuare nu poate fi utilizată.

abordarea clasică
În această abordare,  probabilitatea unui eveniment A, P(A)=(N(A))/(N(S)), unde N(A) reprezintă numărul de elemente ale evenimentului, iar N(S) reprezintă numărul de elemente ale spațiului în care are loc evenimentul A.
În mod formal,
Probabilitatea unui eveniment
Probabilitatea este o funcție cu valori reale,  care atribuie fiecărui eveniment din spațiul de evenimente un număr, numit probabilitatea evenimentului, astfel încât:
Probabilitatea oricărui eveniment este pozitivă, P(A)≥0.
Probabilitatea spațiului de evenimente este 1, P(S)=1.
Dacă A1, A2, …, An sunt evenimente independente, A_i∩ A_(j )=∅,∀ i≠j, atunci
P(A1 U A2 U…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

Teorema 1. P(A)=1-P(A ̅ )
Demonstrație.
Fie S spațiul de evenimente.
S=A ∪ (A ) ̅⇒P(S)=P(A ∪ (A ) ̅ ) □(⇒┴(3)) )  P(S)=P(A)+P((A ) ̅ ) □(⇒┴(2)) )  1=P(A)+P((A ) ̅ )⇒P(A)=1-P(A ̅ )

Teorema 2. P(∅)=0
Demonstrație.
Fie A=∅⇒A ̅=S   ⇒P(∅)=P(A)=1-P(A ̅ )=1-P(S)=1-1=0

Teorema 3. Dacă A și B sunt două evenimente din spațiul S, cu A⊆B, atunci P(A)≤P(B) 
Demonstrație.
A∪(A ̅∩B)=B⇒P(A∪(A ̅∩B))=P(B)⇒P(A)+P(A ̅∩B)=P(B)⇒
P(A)=P(B)-P(A ̅∩B) □(⇒) P(A)≤P(B)

Teorema 4. P(A)≤1
Demonstrație.
A⊆S□(⇒┴(Teorema 3) ) P(A)≤P(S)□(⇒┴(P(S)=1) ) P(A)≤1

Teorema 5.  Pentru oricare două evenimente A și B, P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)       
A∪B=A ∪(A ̅  ∩B)  ⇒P(A∪B)=P(A ∪(A ̅  ∩B))=P(A)+P(A ̅  ∩B) (*)
B=(A ∩B)∪(A ̅∩B)⇒
P(B)=P((A ∩B)∪(A ̅∩B))=P(A ∩B)+P(A ̅∩B)⇒
P(A ̅∩B)=P(B)-P(A ∩B)   (**)
(*)+(**)⇒P(A∪B)+P(B)-P(A ∩B)

 Metode de numărare

Există multe situații în care ar fi prea dificil și / sau prea obositor să enumerăm toate rezultatele posibile într-un spațiu de evenimente. Există diverse moduri de numărare a numărului de elemente într-un spațiu de evenimente, fără a fi nevoie să identificăm efectiv rezultatele. Tehnicile specifice de numărare pe care le vom explora includ regula înmulțirii, permutările, aranjamentele și combinările.

Principiul înmulțirii
Presupunând că există:
K1  rezultate pentru un experiment aleatoriu E1
K2  rezultate pentru un experiment aleatoriu E2
…
Kn  rezultate pentru un experiment aleatoriu En
  Atunci există K1xK2x…xKn rezultate ale experimentului compozit E1E2...En.
Cea mai grea parte a utilizării principiului înmulțirii este determinarea numărului de rezultate posibile pentru fiecare experiment aleatoriu efectuat.  Trebuie verificat dacă multiplicarea este permisă și dacă există sau nu alte restricții care pot influența rezultatul.
Exemplu.
Câte plăcuțe de înmatriculare distincte există, știind că fiecare plăcuță de înmatriculare ar trebui să aibă exact 5 litere din alfabetul englez și 2 cifre?
Imaginându-ne că ar trebui să enumerăm fiecare dintre plăcuțele posibile: AAAAA00, AAAAA01, AAAAA03, ... putem deduce ușor dimensiunea acesteia.  Utilizarea principiului de înmulțire  oferă o  soluție simplă.  Fiecare dintre cele 5 litere poate avea 26 de valori și fiecare cifră 10 valori.
Numărul de plăcuțe este egal cu 26x26x26x26x26x10x10=1188137600.
Dacă se adaugă o condiție referitoare la țara în care se înmatriculează mașina, atunci se adaugă alte condiții care schimbă rezultatul anterior (de exemplu, primele două litere trebuie să corespundă unui județ din România).
Generalizări  ale principiului înmulțirii
Să presupunem că există n poziții care trebuie completate cu n diferite obiecte, atunci există:
n alegeri pentru prima poziție
n-1 alegeri pentru a 2-a poziție
n-2 alegeri pentru a 3-a poziție
...
o alegere pentru ultima poziție
Conform principiului înmulțirii  există: nx(n-1)x(n-2)x…x2x1=n!=P_n moduri de completare a celor n poziții.
Să presupunem că există n poziții care trebuie completate cu m diferite obiecte, atunci există:
m alegeri pentru prima poziție
m-1 alegeri pentru a 2-a poziție
m-2 alegeri pentru a 3-a poziție
...
m-(n-1) alegeri pentru ultima poziție
Conform principiului înmulțirii  există: mx(m-1)x(m-2)x…x(m-n+1)=m!/(m-n)!=A_m^n  moduri de completare a celor n poziții.

Combinări
Se consideră un graf neorientat G, de ordin n și dimensiune m. Care este numărul grafurilor parțiale cu exact k muchii ale grafului G?
Dintre cele m muchii trebuie să alegem k muchii, ceea ce conduce la faptul că există C_m^k grafuri parțiale ce au exact k muchii.
Termenul C_n^k este numit frecvent coeficient binomial pentru că apare în dezvoltarea binomială
〖(a+b)〗^n=∑_(k=0)^n▒〖C_n^k a^(n-k) b^k 〗
Care este numărul grafurilor neorientate cu 5 noduri, în care nodul 1 are gradul 2?
Cu excepția nodului 1, celelalte 4 noduri pot fi unite în orice fel. Numărul de subgrafuri ce se pot forma cu nodurile {2,3,4,5} este egal cu 26=64. Nodul 1 poate fi conectat cu oricare două noduri din mulțimea {2,3,4,5}. Sunt C_4^2  =6 moduri de conectare. În total sunt 6*26=3*27 grafuri.
Într-un graf neorientat, două cicluri se consideră distincte dacă ele diferă prin cel puţin o muchie.
Care este numărul de cicluri hamiltoniene  dintr-un graf neorientat complet de ordin n ?
Orice permutare a șirului 1,2,…,n reprezintă un lanț hamiltonian. Pentru că lanțul trebuie să treacă prin fiecare nod al grafului putem considera doar lanțurile hamiltoniene care pornesc din nodul 1. Numărul acestora este (n-1)!. Fiecare lanț hamiltonian se repetă de două ori (se poate parcurge în cele două sensuri). Rezultă de aici că numărul ciclurilor hamiltoniene este egal cu ((n-1)!)/2 .
Se consideră un graf neorientat complet de ordin 10. Asociați fiecăreia dintre următoarele afirmații valoarea de adevăr a acestora. Care este numărul lanțuri elementare de lungime 2? Dar al subgrafurilor complete de ordin 3?
Orice lanț elementar de lungime 2 are forma x-y-z cu x,y,z{1, 2, … , 10} și x≠y, x≠z,y ≠z. Lanțul x-y-z nu este diferit de lanțul z-y-x. Rezultă de aici că  numărul acestor lanțuri este (A_10^3)/2=360.
Pentru a determina numărul subgrafurilor complete de ordin 3 este suficient să calculăm numărul submulțimilor cu 3 elemente din cele n, număr egal cu  C_10^3.

Numărul permutărilor distincte de n obiecte, atunci când :
n1 elemente au tipul 1
n2 elemente au tipul 2
….
nk elemente au tipul k
n1+n2+n3+…+nk=n
este egal cu n!/(n1!∙n2!∙…∙nk!)

Exemple.
Căpitanul unei navei de croazieră transmite mesaje aranjând 4 stegulețe portocalii și 3 albastre pe un catarg vertical. Câte mesaje diferite ar putea trimite căpitanul navei?
Dacă drapelele ar fi numerotate 1, 2, 3, 4, 5, 6 și 7, atunci steagurile portocalii și steagurile albastre ar fi distincte între ele. În acest caz, căpitanul navei ar putea trimite oricare din    7! = 5.040 mesaje posibile.
Steagurile nu sunt însă numerotate. Adică, cele patru steaguri portocalii nu se disting între ele, iar cele 3 steaguri albastre nu se disting între ele. Trebuie să numărăm numărul de permutări distincte atunci când cele două culori sunt singurele caracteristici care fac ca steagurile să se distingă. Căpitanul navei are 4 steaguri portocalii și 3 steaguri albastre. Folosind formula pentru numărul de permutări distincte, căpitanul navei ar putea trimite oricare dintre:
7!/(4!∙3!)=C_7^4=35 mesaje posibile.
În cazul în care căpitanul navei trimite mesaje prin aranjarea a 3 steaguri roșii, 4 portocalii și 2 albastre pe un catarg vertical,  câte mesaje diferite ar putea trimite căpitanul navei?
Din nou, dacă steagurile ar fi numerotate 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9, atunci steagurile roșii, galbene și albastre ar fi distincte între ele. În acest caz, căpitanul navei ar putea trimite oricare dintre cele 9!= 362880 mesaje  posibile.
Steagurile nu sunt însă numerotate. Adică, cele trei steaguri roșii nu se disting între ele, cele patru steaguri portocalii nu se disting între ele, iar cele 2 steaguri albastre nu se disting între ele. Trebuie să numărăm numărul de permutări distincte atunci când cele trei culori sunt singurele caracteristici care fac ca steagurile să poată fi distinse. Din nou, folosind formula pentru numărul de permutări distincte, căpitanul navei ar putea trimite oricare dintre:
9!/(4!∙3!∙2!)=1260 mesaje posibile.
Câte modalități există pentru a alege numerele naturale a, b, c, d , e, astfel încât suma acestora să fie egală cu 6? (a+b+c+d+e=6)
O soluție astfel de soluție este, de exemplu 1+2+0+1+2=6.
Una dintre metodele de rezolvare este cea în care se utilizează stele și bare separatoare.  Cele 4 bare separatore indică modul în care cele 6 stele pot fi împărțite în 5 submulțimi. Cardinalul acestora indică valoarea necunoscutelor.

De exemplu, soluția 1+2+0+1+2 poate fi reprezentată

Două bare alăturate indică valoarea 0. Dacă secvența începe cu o bară, atunci
Rezolvarea problemei se reduce la determinarea numărului de moduri în care putem așeaza alternativ 4 bare și 6 steluțe, adică la a calcula numărul permutărilor distincte de 10 elemente, 4 fiind de un tip și 6 de alt tip. Numărul acestora este 10!/(4!∙6!)=210 soluții.
Generalizare. Există ((n+k)!)/(n!∙k!) moduri a aduna k+1 numere naturale astfel încât să obținem suma n.

Probabilități condiționate

Considerăm următoarea problemă:
Un cercetător este interesat să evalueze cât de bine funcționează un test de diagnostic pentru detectarea bolilor renale la pacienții cu tensiune arterială ridicată. El efectuează testul de diagnostic pe 140 de pacienți - 80 cu boală renală cunoscută și 60 despre care se știe că sunt sănătoși. Testul de diagnostic este fie pozitiv (pacientul are boală renală), fie negativ (pacientul nu are boală renală). In urma efectuării experimentului, obține următoarele rezultate:
Pozitiv Negativ Total
Cu boală   renală 45 35 80
Sănătoși 10 50 60
Total 55 85 140

Dacă notăm T+  evenimentul în care persoana este testată pozitiv, putem folosi abordarea frecvenței relative pentru a atribui probabilitatea pentru a determina probabilitatea acestui eveniment:
P(T+)=55/140 (din cele 140 de persoane, 55 au fost testate pozitiv)
Notăm cu B, evenimentul în care persoana testată suferă de o boală renală, atunci P(B)=80/140  ( dintre cele 140 de persoane testate sunt  80 de persoane bolnave).

Dacă o persoană este bolnavă, care este probabilitatea ca ea să fie testată pozitiv?
Porțiunea albastră a întrebării este una „condiționată”, în timp ce porțiunea verde este o „probabilitate”.
Putem folosi din nou abordarea relativă a frecvenței și datele colectate de cercetător pentru a determina: P(T+|B )=45/80=0.56 (probabilitatea ca o persoană să testeze pozitiv, având în vedere că are boală renală este de 0,56).
P(T^+│B)=(N(T^+∩B))/(N(B))=((N(T^+∩B))/(N(S)))/((N(B))/(N(S)))=(P(T^+∩B))/(P(B))=(45/140)/(55/140)=45/55=0.81
În general, probabilitatea condiționată a unui eveniment  A, știind că a avut loc un eveniment este scrisă:
P(A│B)=(P(A∩B))/(P(B))

Proprietăți ale probabilității condiționate
P(A|B)≥0
P(A│B)=(P(A∩B))/(P(B)) □(⇒┴(P(A∩B)≥0,P(B)≥0) )  P(A│B)≥0

P(A|A)=1
P(A│A)=(P(A∩A))/(P(A))=(P(A))/(P(A))=1

Dacă A1, A2, …., An sunt evenimente independente, atunci
P( A1 U A2 U … U An |B)= P(A1|B)+P(A2|B)+…+P(An|B)

P[(A_1∪ A_2∪…∪A_n )|B]=P[(A_1∪ A_2∪…∪A_n )∩B]/P(B) =P[(A_1∩B)∪(A_2∩B)∪…∪(A_n∩B)]/P(B) =
=(P(A_1∩B)+P(A_2∩B)+⋯+P(A_n∩B))/(P(B))=P(A_1∩B)/(P(B))+P(A_2∩B)/(P(B))+⋯+P(A_n∩B)/P(B) =P(A_1 |B)+P(A_2 |B)+⋯+P(A_n |B)

Probabilitatea ca două evenimente A și B să apară simultan P(A∩B)=P(A│B)P(B)=P(B│A)P(A)
Generalizare.
(P(A∩B∩C)=P[(A∩B)∩C]=P(C│A∩B)P(A∩B)@P(A∩B)=P(B│A)P(A))}⇒P(A∩B∩C)=P(C│A∩B)P(B│A)P(A)

Evenimente independente

Două evenimente sunt evenimente independente dacă apariția unuia dintre ele nu afectează probabilitatea apariției celuilalt. Adică două evenimente sunt independente dacă: P(B│A)=P(B), în ipoteza că P(A)>0, respectiv P(A│B)=P(A), în ipoteza că P(B)>0. Rezultă de aici că
P(A∩B)=P(B│A)P(A)=P(A)P(B).

Teorema 1. Dacă evenimentele A is B sunt independente, atunci is evenimentele A și B ̅ sunt independente.
Demonstrație.
P(A∩B ̅ )=P(A)∙P(B ̅│A)=P(A)[1-P(B│A)]=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(B ̅)⇒ A și B ̅ sunt independente.

Teorema 2. Dacă evenimentele A is B sunt independente, atunci is evenimentele  A ̅ și B sunt independente.
Demonstrație.

P((A ) ̅∩B)=P(B)∙P(A ̅│B)=P(B)[1-P(A│B)]=P(B)[1-P(A)]=P(B)P(A ̅)⇒ A ̅ și B sunt independente.
Teorema 3. Dacă evenimentele A is B sunt independente, atunci is evenimentele  A ̅ și B ̅ sunt independente.
Demonstrație.
(A ) ̅∩ B ̅=(A∪B) ̅⇒
P((A ) ̅∩ B ̅ )=P((A∪B) ̅ )=1-P(A U B)=1-[P(A)+P(B)-P(A∩B)]=
=1-P(A)-P(B)+P(A∩B)=(1-P(A))(1-P(B))=P((A ) ̅)P( B ̅ )⇒A ̅ și B ̅ sunt independente.

Teorema lui Bayes

Considerăm următoarea problemă:
S-a constatat că un senzor de bord  produs de Automobile X este defect (D). Există trei fabrici (A, B, C) în care sunt fabricați astfel de senzori. Un manager de control al calității este responsabil de investigarea sursei defectelor găsite. Au fost identificate următoarele date, referitoare la producția de senzori de bord a companiei și următoarele surse de defecte posibile:

Fabrica % din producția de senzori de bord   Probabilitatea casenzorul să fie defect
A P(A) = 0.30 P(D|A) = 0.010
B P(B) = 0.30 P(D|B) = 0.015
C P(C) = 0.40 P(D|C) = 0.020

Se dorește să se răspundă la următoarea întrebare: Dacă un senzor de bord  selectat la întâmplare este defect, care este probabilitatea ca senzorul de bord  să fie fabricat în fabrica C?
P(C│D)=(P(C∩D))/(P(D))=(P(D│C)P(C))/(P(D))=(P(D│C)P(C))/(P[(D∩A)∪(D∩B)∪(D∩C)])==(P(D│C)P(C))/(P(D│A)P(A)+P(D│B)P(B)+P(D│C)P(C))==(0.020*0.40)/(0.010*0.30+0.015*0.30+0.020*0.40)=0.008/0.0155=0.516

Probabilitatea ca un senzor de bord  să fie defect este P(D)=0.0155.
Dacă un senzor de bord  selectat la întâmplare este defect, care este probabilitatea ca senzorul de bord  să fie fabricat în fabrica A? Și, dacă un senzor de bord selectat la întâmplare este defect, care este probabilitatea ca senzorul de bord  să fie fabricat în fabrica B?
Probabilitatea ca un senzor de bord  să fie fabricat în fabrica A, având în vedere că este defect este:
P(A│D)=(P(A∩D))/(P(D))=(P(D│A)P(A))/(P(D))=(0.010*0.30)/0.0155=0.003/0.0155=0.193
Probabilitatea ca un senzor de bord  să fie fabricat în fabrica B, având în vedere că este defect este:

P(B│D)=(P(B∩D))/(P(D))=(P(D│B)P(B))/(P(D))=(0.015*0.30)/0.0155=0.0045/0.0155=0.290
Probabilitățile P(A), P(B), P(C) sunt adesea denumite probabilități anterioare, deoarece sunt probabilitățile evenimentelor A, B și C pe care le știm înainte de a obține informații suplimentare. Probabilitățile condiționate P(A|D), P(B|D)  și P(C|D) sunt adesea denumite probabilități posterioare, deoarece sunt probabilitățile evenimentelor după ce am obținut informații suplimentare.
Probabilitățile determinate sunt:
P(A|D)=0.193
P(B|D)=0.290
P(C|D)=0.516
Probabilitățile posterioar calculate ar trebui să aibă sens intuitiv, așa cum se întâmplă aici. De exemplu, probabilitatea ca senzorul de bord  selectat la întâmplare să fie fabricat în fabrica C a crescut, adică, P(C|D)>P(C), deoarece fabrica C generează cea mai mare proporție de senzori de bord  defecți (P(D|C)=0.02). Și, probabilitatea ca senzorul de bord  selectat la întâmplare să fie fabricat în fabrica A a scăzut, adică, P(A|D)<P(A) deoarece fabrica A generează cea mai mică proporție senzori de bord  defecți (P(D|A)=0.01).
Teorema lui Bayes
Se consideră n evenimente care se exclud reciproc E1, E2, …En ce constituie o partiție a spațiului de evenimente S.
E_1∪ E_2∪…∪E_n=S
E_i∩E_j=∅, 1≤i,j≤n,i≠j
De asemenea, să presupunem că probabilitatea anterioară a evenimentului Ei este pozitivă, adică P(Ei)>0 pentru oricare dintre evenimente (i=1,2,..,n).
Dacă A este un eveniment, atunci poate fi scris ca uniunea a n evenimente care se exclud reciproc, și anume:
A=(A∩E_1 )∪(A∩E_2 )∪…∪(A∩E_n )
Rezultă de aici că,
P(A)=P[(A∩E_1 )∪(A∩E_2 )∪…∪(A∩E_n )]=∑_(i=1)^n▒P(A∩E_i ) =∑_(i=1)^n▒〖P(E_i)P(A|E_i ) 〗
Știind că evenimentul A a apărut, P(A)>0,  probabilitatea posterioară a evenimentului Ei condiționat de evenimentul A:
P(E_i│A)=(P(E_i∩A))/(P(A))=(P(E_i )P(A|E_i))/(∑_(i=1)^n▒〖P(E_i)P(A|E_i ) 〗)

Exemplu.
Bolul A conține două bile roșii, bolul B conține două bile albe, iar bolul C conține o bilă roșie și o bilă albă.  Se selectează la întâmplare un bol și se alege la întâmplare o bilă din acel bol. Care este probabilitatea selectării unei bile albe?
Fie A evenimentul în care bolul A este selectat la întâmplare; să fie B evenimentul în care bolul B să fie selectat la întâmplare, și să fie C evenimentul în care bolul C este selectat la întâmplare.
Deoarece există trei boluri care sunt la fel de probabil să fie selectate, avem probabilități egale  P(A)=P(B)=P(C)=1/3.
Fie BA evenimentul în cazul în care o bilă albă este selectată la întâmplare. Probabilitatea selectării unei bile albe dintr-un bol depinde de  bolul cel din care este selectată bila:
P(BA│A)=0
P(BA│B)=1
P(BA│C)=1/2
O bilă albă ar putea fi selectată într-unul din cele trei moduri:
(1) Bolul A ar putea fi selectat, și apoi un o bilă albă poate fi selectată din acesta;
(2) Bolul B ar putea fi selectat, apoi o bilă albă va fi selectată din acesta; 
(3) Bolul C ar putea fi selectat, apoi o bilă albă va fi selectată din acesta.
Probabilitatea ca o bilă albă să fie selectată este:
P(BA)=P[P(BA∩A)∪P(BA∩B)∪P(BA∩C)]
Evenimentele (BA∩A),(BA∩B),   (BA∩C) se exclud reciproc și de aceea putem aplica regula de multiplicare:
P(BA)=P(BA│A)P(A)+P(BA│B)P(B)+P(BA│C)P(C)
Rezultă de aici că:
P(BA)=(0×1/3)+(1×1/3)+(1/2×1/3)=0+1/3+1/6=1/2
Probabilitatea ca o bilă albă să fie aleasă este 1/2.
Singurul bol care conține un o bilă albă și una roșie este bolul C. De aceea, suntem interesați să găsim P(C|BA). Vom folosi faptul că, așa cum a fost stabilit de calculul nostru anterior, P(BA)=1/2.
P(C│BA)=(P(C∩BA))/(P(BA))=(P(BA│C)P(C))/(P(BA))=(1/2×1/3)/(1/2)=1/3
Deducem de aici că, probabilitatea ca cealaltă bilă din bol să fie roșie, atunci când se alege o bilă albă este 1/3.

Distribuții discrete

În secțiunea anterioară, am menționat câteva noțiuni de bază pentru probabilitate, precum și câteva tehnici de numărare care pot fi utile în determinarea probabilității unui eveniment folosind abordarea clasică. În această secțiune, vom explora variabile aleatorii discrete și distribuții de probabilitate discrete. Ideea de bază este că atunci când sunt îndeplinite anumite condiții, putem deriva formule pentru calcularea probabilității unui eveniment. În loc să revenim la regulile de probabilitate de bază pe care le-am învățat în secțiunea anterioară pentru a calcula probabilitatea unui eveniment, putem folosi noile formule pe care le-am derivat, cu respectarea anumitor condiții.
Considerăm următorul exemplu:
Se selectează la întâmplare trei fani care asistă un joc de fotbal între 2 echipe A și B, din prima ligă. Identificați dacă fanul este un fan (A) al echipei A au un fan (B) al echipei B. Acest experiment produce următorul spațiu de evenimente:
S={AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB}
Fie X numărul de fani A selectați. Valorile posibile ale acestora sunt, prin urmare, fie 0, 1, 2 sau 3. Acum, am putea găsi probabilități de evenimente individuale P(AAA) sau, P(ABA), de exemplu. În mod alternativ, am putea găsi, probabilitatea P(X=x), representând probabiliatea ca X să ia o anumită valoare particulară x.
Întrucât jocul se desfășoară pe terenul echipei A, să presupunem că 75% dintre fanii care participă la joc sunt fani A, în timp ce 25% sunt fani B. Adică P(A)=0.75 și P(B)=0.25. Apoi, din independența evenimentelor rezultă:
P(X=0)=P(BBB)=0.25×0.25×0.25=0.0156
Din independență și excludere reciprocă pentru ABB, BAB și BBA, obținem:
P(X=1)=P(ABB)+P(BAB)+P(BBA)=3×0.25×0.25×0.75=0.140
Din independență și excludere reciprocă pentru AAB, ABA și BAA, obținem:
P(X=2)=P(AAB)+P(ABA)+P(BAA)=3×0.75×0.75×0.25=0.421
Din independență,
P(X=3)=P(AAA)=0.75×0.75×0.75=0.421

Având în vedere că 75% dintre fanii din tribune sunt fani A, nu ar trebui să pară surprinzător faptul că am fi cel mai probabil să selectăm 2 sau 3 fani ai echipei A.
Probabilitatea spațiului de evenimente S este:
P(S)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1
Deoarece valorile pe care le preia sunt aleatorii, variabila X se numește variabilă aleatorie.

Variabilă aleatorie
Având în vedere un experiment aleatoriu cu spațiu de evenimente S, o variabilă aleatorie este o funcție care atribuie un număr real fiecărui element care aparține spațiului de evenimente.
Ansamblul tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare X, se notează cu x, și se numește suport sau spațiu.
Variabilele aleatorii se notează cu majuscule, iar valorile posibile ale acestora, cu minuscule.

Variabilă aleatorie discretă
O variabilă aleatorie X este o variabilă aleatorie discretă dacă:
există un număr finit de rezultate posibile pentru X
există un număr infinit numărabil de rezultate posibile ale variabilei X (există o corespondență unu la unu între rezultatele și setul de numere întregi)

Funcții de probabilitate
Probabilitatea ca o variabilă aleatorie discretă X să ia o anumită valoare x, adică P(X=x) este adesea notată f(x). Funcția f(x) este denumită în mod obișnuit funcția de probabilitate, deși unii autori se referă la ea ca, funcție de frecvență sau funcție de densitate de probabilitate. Vom folosi terminologia comună - funcția de masă de probabilitate - și abrevierea ei comună - fp.
Funcția de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete, P(X=x)=f(x)=fp este o funcție care satisface următoarele proprietăți:
P(X=x)=f(x)=fp>0,pentru orice x din S
∑_(x∈S)▒f(x) =1
P(X∈A)=∑_(x∈A)▒〖f(x)〗
Întrucât este o funcție, f(x) poate fi prezentată:
sub formă de tabel
în formă grafică
ca formulă
Exemplu
Să fie egal numărul de cluburi ai studenților din orașul X. Spațiul este, desigur, 0, 1, 2, 3, ... Deoarece spațiul conține un număr infinit de valori posibile, este o variabilă aleatorie discretă cu o funcție de probabilitate. Se cere determinarea funcției de probabilitate, pentru toate elementele din spațiul suport.
x 0 1 2 3
f(x)=P(X=x) 0.41 0.45 0.11 0.03

Funcția generatoare
În problemele în care apar variabile aleatoare nenegative se utilizează funcția generatoare a variabilei aleatoare X, G_X (Z) care se definește prin relația:
G_X (Z)=∑_(k=0)^∞▒〖p_k z^k 〗, unde p_k=P(X=k),k∈{0,1,2,..}
∑_(k=0)^∞▒p_k =1
Rezultă de aici că G_X (Z)=∑_(k=0)^∞▒〖p_k z^k 〗  este o serie convergentă atunci când |z|≤1.
În cazul în care |z|<1 putem deriva seria de puteri și obținem:
〖G_X (z)〗^((t))=∑_(k=t)^∞▒〖n(n-1)(n-2)…(n-t+1)p_t z^(n-k) 〗=∑_(k=t)^∞▒C_n^t *t!p_t*z^(n-k)
Pentru z=0, rezultă că 〖G_X (0)〗^((t))=t!*p_t⇒p_t=〖G_X (0)〗^((t))/t!