Problemele, \u00eent\u00e2lnite \u00een matematica \u0219colar\u0103, reprezint\u0103 factorul decisiv \u00een \u00eenv\u0103\u021barea matematicii \u0219i calea principal\u0103 prin care se verific\u0103 modul \u0219i gradul \u00een care s-au asimilat no\u021biunile de teorie. Competen\u021ba elevilor de a rezolva probleme este, de multe ori, criteriul dup\u0103 care sunt selecta\u021bi la un examen, cum ar fi testele na\u021bionale, bacalaureatul, admiterea la facultate. Problemele au un puternic rol informativ, cu ajutorul lor se eviden\u021biaz\u0103 rolul matematicii \u00een via\u021ba curent\u0103, respectiv putem avea calcule, m\u0103sur\u0103ri, aplica\u021bii \u00een fizic\u0103, tehnic\u0103, inginerie.
\nTermenul de problem\u0103 nu este clar delimitat \u0219i precizat, \u00een limba german\u0103 avem \u201epro-ballein\u201d care \u00eenseamn\u0103 \u201e\u00eenaintea unei bariere\u201d, \u201eobstacol care st\u0103 \u00een cale\u201d, ce poate fi interpretat \u0219i ca o dificultate teoretic\u0103 sau practic\u0103 a c\u0103rei rezolvare presupune investigare, tatonare, c\u0103utare, pe c\u00e2nd \u00een etimologia greac\u0103 a cuv\u00e2ntului \u201eproblem\u0103\u201d aceasta reprezint\u0103 o \u201eprovocare\u201d la c\u0103utare \u0219i descoperirea solu\u021biei. <\/p>\n
Rezolvarea oric\u0103rei probleme \u00eencepe cu analiza atent\u0103 a enun\u021bului, iar acesta trebuie corect \u0219i clar formulat astfel \u00eenc\u00e2t el trebuie s\u0103 conduc\u0103 la o re\u021binere u\u0219oar\u0103 de c\u0103tre elevi. La \u00eenceput, se poate cere elevilor s\u0103 reciteasc\u0103 enun\u021bul, s\u0103 precizeze elementele date \u0219i pe cele ce trebuie s\u0103 le afle, iar apoi se pot formula unele \u00eentreb\u0103ri care s\u0103-i determine pe elevi s\u0103 se edifice asupra datelor problemei.<\/p>\n
O problem\u0103 reprezint\u0103 un enun\u021b prin care se ofer\u0103 anumite informa\u021bii elevilor \u0219i \u00een care se cere s\u0103 se demonstreze un fapt matematic sau s\u0103 se calculeze valorile unor elemente, astfel \u00eenc\u00e2t rezolvarea s\u0103 implice o ini\u021biativ\u0103 din partea rezolvitorului. Din acest motiv, rezolvarea de probleme este o activitate cognitiv\u0103 complex\u0103 datorit\u0103 opera\u021biilor cognitive necesare ob\u021binerii solu\u021biei c\u00e2t \u0219i diversit\u0103\u021bii situa\u021biilor cu care ne confrunt\u0103m. Astfel, problemele au \u0219i rol formativ \u00een educarea g\u00e2ndirii creatoare prin exerci\u021biul de g\u00e2ndire logic\u0103 pe care \u00eel implic\u0103.<\/p>\n
\u00cen practica \u0219colar\u0103, termenul de \u201dproblem\u0103\u201d este dat \u0219i unor exerci\u021bii care se rezolv\u0103 prin aplicarea unei metode algoritmice sau este utilizat pentru a descrie situa\u021biile problematice care presupun o investigare euristic\u0103.<\/p>\n
Profesorul de matematic\u0103 este implicat total \u00een studiul problemelor, \u00eencep\u00e2nd cu elaborarea unora dintre ele, cum este firesc pentru un profesor, continu\u00e2nd cu rezolvarea multora \u0219i termin\u00e2nd cu formarea \u0219i dezvoltarea la elevi a priceperilor \u0219i deprinderilor de rezolvare, iar uneori chiar de compunere de probleme.<\/p>\n
Elevii trebuie \u00eencuraja\u021bi de la cele mai mici clase \u00een rezolvarea de probleme, acestea fiind alese potrivite pentru nivelul lor de g\u00e2ndire \u0219i cuno\u0219tin\u021be. Profesorul ofer\u0103 \u00eentreb\u0103ri \u0219i recomand\u0103ri elevilor \u00eentr-un mod adecvat, pentru a le utiliza \u00een rezolvarea problemelor \u00eent\u00e2lnite, folosind bunul sim\u021b \u0219i generalitatea. Elevul \u00eencepe rezolvarea unei probleme dup\u0103 ce o \u00een\u021belege pe deplin, iar acest lucru este verificat de profesor, \u00eentr-o oarecare m\u0103sur\u0103, prin \u00eentreb\u0103ri potrivite. Elevul trebuie s\u0103 fie \u00een stare s\u0103 repete enun\u021bul problemei, s\u0103 \u0219tie care sunt necunoscutele \u0219i datele, s\u0103 explice diverse condi\u021bii ale problemei. A\u0219adar, trebuie insistat foarte mult pe formarea capacit\u0103\u021bii la elevi de analiz\u0103 \u0219i sintez\u0103 a problemei, a separ\u0103rii ipotezei de concluzie, adic\u0103 a ceea ce \u201dse d\u0103\u201d de ceea ce \u201dse cere\u201d, mai ales \u00een cazul problemelor de geometrie.<\/p>\n
Se pot distinge astfel patru etape ale muncii unui elev privind rezolvarea de probleme, \u0219i anume, mai \u00eent\u00e2i, elevii trebuie s\u0103 \u00een\u021beleag\u0103 problema, con\u021binutul ei, a doua etap\u0103 const\u0103 \u00een observarea elementelor diverse ale unei probleme, pentru a se \u00eentocmi un plan, a treia etap\u0103 const\u0103 \u00een realizarea planului, iar \u00een a patra etap\u0103 trebuie s\u0103 privim retrospectiv solu\u021bia ob\u021binut\u0103, s\u0103 o studiem \u0219i s\u0103 o discut\u0103m, potrivit lui P\u1f40lya G.
\n\u00cen\u021belegerea problemei\u00a0 presupune \u00een\u021belegerea enun\u021bului verbal al problemei, formularea ei \u00een cuvinte, iar elevul trebuie s\u0103 analizeze atent sub diverse aspecte p\u0103r\u021bile principale ale problemei, aleg\u00e2nd eventual nota\u021bii corespunz\u0103toare, simboluri adecvate, dac\u0103 problema este legat\u0103 de o figur\u0103 geometric\u0103, aceasta trebuie desenat\u0103 \u0219i notat\u0103 corect.<\/p>\n
Ca exemplu, vom considera problema urm\u0103toare: \u201eS\u0103 se afle diagonala unui paralelipiped dreptunghic, la care cunoa\u0219tem lungimea, l\u0103\u021bimea \u0219i \u00een\u0103\u021bimea.<\/em>\u201d Pentru \u00eenceput, aici elevii trebuie s\u0103 fie familiariza\u021bi cu teorema lui Pitagora \u0219i cu unele aplica\u021bii ale ei \u00een geometria plan\u0103, iar profesorul poate oferi ca exemplu interesant sala de clas\u0103. Aceasta are forma unui paralelipiped dreptunghic, ale c\u0103rei dimensiuni pot fi aproximate, iar elevii trebuie \u201ds\u0103 m\u0103soare\u201d c\u00e2t ar fi lungimea diagonalei. Astfel, profesorul si elevii \u00eencep un dialog eficient \u00een rezolvarea problemei propuse: \u00centocmirea unui plan\u00a0 poate fi uneori anevoioas\u0103, \u00eens\u0103 lucrul cel mai bun pe care-l poate face profesorul pentru elev este de a-l ajuta \u00eentr-un mod discret s\u0103 ajung\u0103 la o idee str\u0103lucit\u0103, folosind \u00eentreb\u0103ri \u0219i recomand\u0103ri potrivite situa\u021biei create.<\/p>\n Astfel, din aproape \u00een aproape, elevii \u00ee\u0219i dau seama c\u0103 au \u00eent\u00e2lnit \u0219i rezolvat probleme asem\u0103n\u0103toare, de exemplu, au avut situa\u021bii unde aveau de calculat o latur\u0103 \u00eentr-un triunghi dreptunghic. \u00cen figura urm\u0103toare av\u00e2nd\u00a0 un triunghi dreptunghic, \u0219i anume, cel ha\u0219urat, elevii observ\u0103 c\u0103 ipotenuza lui este exact diagonala c\u0103utat\u0103.<\/p>\n De aici \u00eenainte, realizarea planului problemei este mai u\u0219oar\u0103, dar cu mult\u0103 r\u0103bdare, bine\u00een\u021beles.<\/p>\n Principalele reguli care trebuie cunoscute \u015fi respectate de un rezolvitor de probleme constau \u00een:<\/p>\n 1. Citirea corect\u0103 a enun\u021bului problemei \u015fi construirea exact\u0103 a figurii (la geometrie), esen\u021biale \u00een evitarea erorilor de ra\u021bionament. Citirea enun\u021bului de mai multe ori nu trebuie considerat\u0103 \u201epierdere de timp\u201d, deoarece \u00een cadrul acestuia sunt oferite anumite indica\u021bii pe care elevul trebuie s\u0103 le poat\u0103 identifica \u015fi, cu ajutorul acestora, s\u0103 caute tehnici de rezolvare.<\/p>\n 2. \u00censu\u0219irea enun\u021bului problemei const\u0103 \u00een cunoa\u0219terea clar\u0103 a datelor ipotezei, a concluziei \u015fi a leg\u0103turii dintre acestea, a teoremelor \u0219i no\u021biunilor legate cu problema dat\u0103. Ea se materializeaz\u0103 \u00een acele c\u00e2teva minute premerg\u0103toare rezolv\u0103rii propriu-zise \u00een care elevul \u00eencearc\u0103 \u201es\u0103 simt\u0103\u201d problema, s\u0103 o \u00eencadreze \u00eentr-un cadru cunoscut. O \u00een\u021belegere atent\u0103 a enun\u021bului reduce de cele mai multe ori calculele ce trebuie efectuate pe parcursul rezolv\u0103rii problemei. De exemplu: \u00een cazul unei func\u021bii pare, vom face studiul doar pentru valorile pozitive ale argumentului; propriet\u0103\u021bile func\u021biei modul pot simplifica rezolvarea unei ecua\u021bii.<\/p>\n 3. Cunoa\u0219terea unor procedee \u015fi metode pentru rezolvarea problemelor care s\u0103 stabileasc\u0103 \u201epa\u015fi \u00een g\u00e2ndirea rezolv\u0103rii\u201d (Am folosit toat\u0103 ipoteza?, \u015etiu o problem\u0103 asem\u0103n\u0103toare?<\/em>). De exemplu, pentru a ar\u0103ta c\u0103 dou\u0103 drepte sunt paralele, elevul cunoa\u015fte anumite metode, cum ar fi: folosind unghiurile formate de drepte cu o secant\u0103, g\u0103sind o perpendicular\u0103 comun\u0103 sau o paralel\u0103 comun\u0103, utiliz\u00e2nd teorema lui Thales, propriet\u0103\u021bile coardelor \u00een cerc, determin\u00e2nd un paralelogram pentru care dreptele s\u0103 constituie laturi paralele etc. \u00cen func\u021bie de particularit\u0103\u021bile problemei, el va trebui s\u0103 aleag\u0103 apoi metoda de rezolvare cea mai potrivit\u0103.<\/p>\n 4. Construirea de ra\u021bionamente noi pe baza axiomelor, defini\u021biilor, teoremelor \u015fi a altor ra\u021bionamente \u00eenv\u0103\u021bate anterior. Pentru fiecare problem\u0103 trebuie realizat\u0103 o scurt\u0103 analiz\u0103 a enun\u021bului, trebuie motivat\u0103 alegerea metodei de rezolvare, mersul g\u00e2ndirii \u00een procesul de rezolvare \u015fi eventual, oferite mai multe variante de rezolvare. Toate acestea ofer\u0103 motiva\u021bii logice de abordare \u015fi sprijin\u0103 ob\u021binerea altor ra\u021bionamente.<\/p>\n 5. Discu\u021bia problemei. De multe ori, rezolvarea unei probleme nu se \u00eencheie cu aflarea solu\u021biei; apar situa\u021bii \u00een care trebuie examinate \u015fi condi\u021biile care arat\u0103 existen\u021ba altor solu\u021bii preciz\u00e2nd, dup\u0103 caz num\u0103rul lor; sunt studiate diferite cazuri particulare care pot ap\u0103rea sau se generalizeaz\u0103 problema.<\/p>\n 6. Verificarea solu\u021biilor problemei. Pe parcursul rezolv\u0103rii unor ecua\u021bii (de exemplu care con\u021bin radicali), se aplic\u0103 transform\u0103ri asupra ecua\u021biei ini\u021biale care nu conduc \u00eentotdeauna la ecua\u021bii echivalente cu cea ini\u021bial\u0103. Solu\u021biile care se ob\u021bin pot fi doar o parte a solu\u021biilor ecua\u021biei ini\u021biale (prin \u00eemp\u0103r\u021birea ambilor membri ai ecua\u021biei cu o expresie care con\u021bine necunoscuta, f\u0103r\u0103 a impune condi\u021bia ca ea s\u0103 fie nenul\u0103, prin extragerea r\u0103d\u0103cinii p\u0103trate din ambii membrii ai ecua\u021biei), sau se introduc solu\u021bii str\u0103ine ecua\u021biei ini\u021biale (prin \u00eenmul\u021birea ambilor membri ai ecua\u021biei cu o expresie care con\u021bine necunoscuta, prin ridicarea lor la p\u0103trat, etc.). Pentru eliminarea solu\u021biilor str\u0103ine, toate solu\u021biile g\u0103site trebuie verificate \u00een ecua\u021bia ini\u021bial\u0103.<\/p>\n \u00cen problemele de construc\u021bii geometrice, pentru verificarea solu\u021biilor, se realizeaz\u0103 de fapt o demonstra\u021bie care arat\u0103 c\u0103 figura ob\u021binut\u0103 corespunde cu cea cerut\u0103 \u00een enun\u021bul problemei.<\/p>\n S-au cump\u0103rat 6 pahare \u0219i 8 farfurii cu suma de 82 de lei. C\u00e2t cost\u0103 o farfurie \u0219i c\u00e2t cost\u0103 un pahar?<\/em>\u00a0Aceast\u0103 problem\u0103 are mai multe solu\u021bii, astfel, dac\u0103 un pahar cost\u0103 1 leu, atunci o farfurie cost\u0103 9,50 lei, dac\u0103 un pahar cost\u0103 2 lei, o farfurie cost\u0103 8,75 lei \u0219i a\u0219a mai departe. Nu se poate \u0219ti exact din datele problemei care este \u00een realitate costul obiectelor.<\/p>\n Bibliografie<\/strong><\/em> <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problemele, \u00eent\u00e2lnite \u00een matematica \u0219colar\u0103, reprezint\u0103 factorul decisiv \u00een \u00eenv\u0103\u021barea matematicii \u0219i calea principal\u0103 prin care se verific\u0103 modul \u0219i gradul \u00een care s-au asimilat no\u021biunile de teorie. Competen\u021ba elevilor de a rezolva probleme este, de multe ori, criteriul dup\u0103 … Cite\u0219te continuarea
\nP: \u201dCare este necunoscuta?\u201d
\nE: \u201dLungimea diagonalei unui paralelipiped.\u201d
\nP: \u201dCare sunt lungimile\/datele care le cunoa\u0219tem?\u201d
\nE: \u201dCunoa\u0219tem lungimea, l\u0103\u021bimea \u0219i \u00een\u0103l\u021bimea unui paralelipiped.\u201d
\nP: \u201dCu ce liter\u0103 putem nota necunoscuta?\u201d
\nE: \u201dx\u201d
\nP: \u201dCe litere alege\u021bi pentru lungime, l\u0103\u021bime \u0219i \u00een\u0103\u021bime?\u201d
\nE: \u201da, b, c .\u201d
\nP: \u201dCare este condi\u021bia care leag\u0103 \u00eentre ele a, b, c \u0219i x?\u201d
\nE: \u201dx este diagonala, iar paralelipipedul are lungimea, l\u0103\u021bimea \u0219i \u00een\u0103\u021bimea egale respectiv cu a, b, c.\u201d<\/p>\n
\n1. Ardelean, L., Secelean, N., Didactica matematicii: no\u021biuni generale; comunicare didactic\u0103 specific\u0103 matematicii, Editura Universit\u0103\u021bii \u201dLucian Blaga\u201d, Sibiu, 2007.
\n2. Cucurezeanu, I., Probleme de aritmetic\u0103 \u0219i teoria numerelor, Editura Tehnic\u0103, Bucure\u0219ti, 1976.
\n3. Dan, C.T., Chiosa, S.T., Didactica matematicii, Editura Universitaria, Craiova, 2008.
\n4. D\u0103ncil\u0103, I., Matematic\u0103 distractiv\u0103, clasele a V-a \u0219i a VI-a, Editura Art, Bucure\u0219ti, 2012.
\n5. Hollinger, A., Metodica pred\u0103rii algebrei \u00een \u0219coala general\u0103, Editura Didactic\u0103 \u0219i Pedagogic\u0103, Bucure\u0219ti, 1965.
\n6. Kordemski, B., A., Matematic\u0103 distractiv\u0103, Editura Tineretului, 1959.
\n7. L\u0103z\u0103rescu, D., Paleoaritmetic\u0103 \u0219i alte probleme de logic\u0103, Editura Albatros, Bucure\u0219ti,
\n8. Perianu, M., Sm\u0103r\u0103ndoiu, \u0218., St\u0103nic\u0103, C., Matematic\u0103 \u2013 clasa a V-a, Editura Art Klett, Bucure\u0219ti, 2022.
\n9. Polya, G., Cum rezolv\u0103m o problem\u0103?, Editura \u0218tiin\u021bific\u0103, Bucure\u0219ti, 1965.
\n10. Polya, G., Matematica \u0219i ra\u021bionamentele plauzibile, Editura \u0218tiin\u021bific\u0103, Bucure\u0219ti, 1962.
\n11. Polya, G., Descoperirea matematic\u0103, Editura \u0218tiin\u021bific\u0103 \u0219i Enciclopedic\u0103, Bucure\u0219ti, 1971.<\/p>\n