{"id":1273,"date":"2013-02-19T12:52:54","date_gmt":"2013-02-19T12:52:54","guid":{"rendered":"http:\/\/iteach.ro\/experientedidactice\/?p=1273"},"modified":"2013-02-27T09:37:10","modified_gmt":"2013-02-27T09:37:10","slug":"evolutia-notiunilor-de-teoria-numerelor-in-cadrul-orelor-de-matematica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/iteach.ro\/experientedidactice\/evolutia-notiunilor-de-teoria-numerelor-in-cadrul-orelor-de-matematica","title":{"rendered":"Evolu\u0163ia no\u021biunilor de teoria numerelor \u00een cadrul orelor de matematic\u0103"},"content":{"rendered":"

\u00cen \u015fcoal\u0103, no\u0163iunea de num\u0103r, no\u0163iune fundamental\u0103 \u00een matematic\u0103, se dezvolt\u0103 treptat \u00een diferi\u0163i ani de studiu, urm\u0103rindu-se atingerea jaloanelor fixate pentru \u00eensu\u015firea con\u0163inutului acestei no\u0163iuni \u00een ultimii ani ai liceului.
\n\u00cen fiecare treapt\u0103 a acestui proces, elevul trebuie s\u0103 \u00een\u0163eleag\u0103 principiile de baz\u0103 care conduc la l\u0103rgirea no\u0163iunii de num\u0103r; trebuie de asemenea insistat pe cunoa\u015fterea \u015fi folosirea rela\u0163iei de ordine pe fiecare din aceste mul\u0163imi \u015fi \u00een\u0163elegerea logic\u0103 de c\u0103tre elevi a incluziunilor N Z Q R.
\n<\/p>\n

Elevul trebuie s\u0103 \u00een\u0163eleag\u0103 \u00een primul r\u00e2nd principiile de baz\u0103 care conduc la l\u0103rgirea no\u0163iunii de num\u0103r \u015fi anume:
\n1) Ce problem\u0103, ce necesitate impune aceast\u0103 l\u0103rgire;
\n2) Noua l\u0103rgire conduce la o mul\u0163ime de numere care o include pe cea precedent\u0103, cunoscut\u0103;
\n3) Odat\u0103 cu defini\u0163ia ce se d\u0103 noilor numere trebuie s\u0103 se dea noi defini\u0163ii \u015fi pentru opera\u0163ii: aceste noi defini\u0163ii se dau \u00een a\u015fa fel \u00eenc\u00e2t s\u0103 l\u0103rgeasc\u0103, f\u0103r\u0103 a le contrazice pe cele date anterior; trebuie ar\u0103tat, de asemenea, c\u0103 propriet\u0103\u0163ile se men\u0163in.<\/p>\n

Deprinderea de a utiliza teorema \u00eemp\u0103r\u0163irii cu rest \u00een exerci\u0163ii \u015fi probleme, dezvoltarea capacit\u0103\u0163ii de a folosi cuno\u015ftin\u0163ele de la divizibilitate \u00een N \u015fi Z \u00een rezolvarea problemelor \u015fi \u00een studiul numerelor ra\u0163ionale, \u00een\u0163elegerea no\u0163iunilor de divizibilitate a polinoamelor \u015fi de polinoame reductibile, aflarea c.m.m.d.c \u015fi c.m.m.m.c al dou\u0103 polinoame (inclusiv prin folosirea algoritmului lui Euclid, \u00een primul caz) constituie tot at\u00e2tea puncte de reper necesare \u00een atingerea obiectivelor specifice \u015fi generale ale \u00eenv\u0103\u0163\u0103rii matematicii.<\/p>\n

Astfel, importan\u0163a no\u0163iunilor de teoria numerelor cuprinde \u00een manualele \u015fcolare, \u00eencep\u00e2nd chiar cu clasa a-V-a este cu at\u00e2t mai dovedit\u0103, deoarece apare fiecare obiectiv din cele enun\u0163ate se poate realiza \u015fi prin abordarea acestui cerc de probleme. Importan\u0163a subiectului tratat \u00een aceast\u0103 lucrare poate rezulta din considera\u0163iile care urmeaz\u0103.
\n\u00cen literatura de specialitate s-a cristalizat teoria c\u0103 no\u0163iunile \u015fi cuno\u015ftin\u0163ele se pot ordona, pentru predare-\u00eenv\u0103\u0163are \u00een dou\u0103 sisteme: sistemul linear \u015fi sistemul concentric (cantitativ \u015fi calitativ). Dup\u0103 cum se \u015ftie, sistemul lineat desemneaz\u0103 modul de organizare a cuno\u015ftin\u0163elor cu no\u0163iuni care de \u00eensu\u015fesc \u00een form\u0103 definitiv\u0103 \u015fi \u00een \u00eentr-o sfer\u0103 de curprindere, f\u0103r\u0103 relu\u0103ri succesive.<\/p>\n

Sistemul concentric cantitativ desemneaza forma de organizare a no\u0163iunilor care au sfer\u0103 larg\u0103 de componen\u0163\u0103 \u015fi care se predau prin relu\u0103ri, l\u0103rgindu-se complementar cu fiecare reluare aria cuno\u015ftin\u0163elor, f\u0103r\u0103 restructur\u0103ri ale conceptelor \u015fi ale modelelor logice stabilite anterior.<\/p>\n

Problemele legate de teoria numerelor ofer\u0103 un model de organizare a cuno\u015ftin\u0163elor, no\u0163iunilor \u00eentr-un sistem concentric cantitativ.<\/p>\n

Astfel, no\u0163iunea de divizibilitate este introdus\u0103 \u00een clasele mici, definit\u0103 \u00een clasa a-V-a \u015fi dezvoltat\u0103 \u00een clasele urm\u0103toare p\u00e2n\u0103 la teoria divizibilit\u0103\u0163ii polinoamelor. Chiar din clasele II-IV prin exerci\u0163iile cu \u00eemp\u0103r\u0163iri f\u0103r\u0103 rest se intuie\u015fte no\u0163iunea de divizibilitate. \u00cen clasa a V-a, defini\u0163ia divizibilit\u0103\u0163ii este urm\u0103toarea: \u201eFie a \u015fi b dou\u0103 numere naturale. Spunem c\u0103 b\/a dac\u0103 exist\u0103 un num\u0103r natural c astfel \u00eenc\u00e2t a=b*c\u201d. Consider\u0103m necesar\u0103 o precizare. Este \u015ftiut faptul c\u0103 formul\u0103rile ambigue sau cele care nu respect\u0103 algoritmii sau codurile consacrate, perturb\u0103 procesul \u00eenv\u0103\u0163\u0103rii logice. \u00cen memorie exist\u0103, astfel, asocia\u0163ii \u00een utilizarea formulei cod a divizibilit\u0103\u0163ii. Se folose\u015fte \u015fi \u201eb divide a\u201d \u015fi \u201ea este divizibil cu b\u201d<\/p>\n

Considera\u0163iile care urmeaz\u0103 dovedesc faptul c\u0103 teoria numerelor ofer\u0103 un cadru adecvat organiz\u0103rii cuno\u015ftin\u0163elor \u00eentr-un sistem concentric calitativ, acestea fiind \u00eensu\u015fite prin relu\u0103ri succesive, restructur\u0103ri \u015fi reinterpret\u0103ri ale informa\u0163iilor \u015fi ale modelului logic anterior p\u00e2n\u0103 la \u00een\u0163elegerea no\u0163iunilor \u00een sfer\u0103 deplin elaborat\u0103.<\/p>\n

\u00cen clasa a-V-a este un capitol bine structurat con\u0163in\u00e2nd no\u0163iunile de Divizor, multiplu. Divizibilitatea cu 10, 2, 5. Numere pare \u015fi numere impare.<\/p>\n

\u00cen clasa a-VI-a se revine conform modelului de organizare a cuno\u015ftin\u0163elor, no\u0163iunilor \u00eentr-un sistem concentric cantitativ \u015fi se prezint\u0103 no\u0163iunile de Divizor, multiplu, Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, Propriet\u0103\u0163i ale rela\u0163iei de divizibilitate \u00een N, Numere prime \u015fi numere compuse, Descompunerea numerelor naturale \u00een produs de puteri de numere prime, Divizori comuni a dou\u0103 sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c. Numere prime \u00eentre ele, Multipli comuni a dou\u0103 sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c. Dup\u0103 cum se poate lesne observa se acumuleaz\u0103 no\u0163iuni fundamentale legate de teoria numerelor. Se trece apoi la prezentarea mul\u0163imii numerelor \u00eentregi, unde se prezint\u0103 Divizorii unui num\u0103r \u00eentreg.<\/p>\n

Obiective de referin\u0163\u0103 precum \u201es\u0103 utilizeze de teoria mul\u0163imilor \u015fi de divizibilitate, pentru a justifica valoarea de adev\u0103r a unor enun\u0163uri\u201d sunt realizate prin activit\u0103\u0163i de \u00eenv\u0103\u0163are de tipul: exerci\u0163ii de identificare a numerelor divizibile cu 2,3,5,10 dintr o mul\u0163ime de numere \u00eentregi;exerci\u0163ii de calcul al c.m.m.d.c. \u015fi al c.m.m.m.c.; verificarea corectitudinii unor calcule, folosind: ultima cifr\u0103, criterii de divizibilitate etc.; exerci\u0163ii ce folosesc propriet\u0103\u0163ile rela-\u0163iei de divizibilitate; exerci\u0163ii de identificare a numerelor pri-me \u015fi a perechilor de numere prime \u00eentre ele;<\/p>\n

De remarcat este faptul c\u0103 \u00eenc\u0103 din clasa a VI-a se urm\u0103re\u015fte la elevi dezvoltarea capacit\u0103\u0163ilor de explorare\/ investigare a modalit\u0103\u0163ilor de descompunere a numerelor \u00eentregi \u015fi ra\u0163ionale, folosind opera\u0163iile studiate prin:<\/p>\n