Unul\u00a0 dintre cele mai provocatoare lucruri \u00een meseria de profesor de matematic\u0103 este atragerea elevilor c\u0103tre studiul aprofundat al acestei discipline \u0219i con\u0219tientizarea aplicabilit\u0103\u021bii practice a matematicii. De aceea, de-a lungul anilor, am c\u0103utat diverse modalit\u0103\u021bi de a \u00eembina aceste dou\u0103 deziderate, una dintre modalit\u0103\u021bile g\u0103site fiind crearea de CD\u0218-uri atractive pentru elevi. \u00cen anii \u0219colari trecu\u021bi, pentru clasele XI-XII am creat un CD\u0218 numit \u201eFrumuse\u021bea numerelor\u201d care s\u0103 \u00eei fac\u0103 pe ace\u0219tia s\u0103 descopere existen\u021ba unor numere sau concepte matematice \u00een natur\u0103 sau \u00een mediul \u00eenconjur\u0103tor.
\nUna dintre cele mai mari crea\u021bii ale societ\u0103\u021bii umane este realizarea podelelor \u00eenclinate. Egiptenii a\u0219ezau blocuri de piatr\u0103 \u00een modele regulate; grecii antici \u0219i romanii formau, de obicei, modele regulate \u00een mozaicuri. Probabil cea mai simpl\u0103 modalitate de a\u0219ezare a pl\u0103cilor este cea a unei matrici asem\u0103n\u0103toare cu o tabl\u0103 de \u0219ah, format\u0103 din pl\u0103ci p\u0103trate, egale. \u00cen afar\u0103 de p\u0103trate, cel mai des \u00eent\u00e2lnit model de pl\u0103ci folose\u0219te poligoane regulate – forme cu laturi drepte \u0219i unghiuri egale \u00een fiecare col\u021b.\u00a0 Un triunghi echilateral este un poligon regulat cu trei laturi; un hexagon este un poligon regulat cu \u0219ase laturi. Poligoanele regulate pot avea orice num\u0103r de laturi, at\u00e2t timp c\u00e2t sunt mai mult de trei. <\/p>\n
Ce fel de poligon regulat poate placa suprafa\u021ba plat\u0103 a unui plan, dac\u0103 putem folosi un singur tip de gresie? R\u0103spunsul este simplu- triunghiuri echilaterale, p\u0103trate, hexagoane \u0219i nimic altceva. Demonstra\u021bia este la fel de simpl\u0103. C\u00e2nd acoperi un perete sau podeaua cu gresie, folose\u0219ti un num\u0103r mic de forme de baz\u0103 (de obicei doar una, cum ar fi p\u0103tratul), dar pozi\u021bionezi copii ale acesteia \u00een multe pozi\u021bii diferite. Transform\u0103rile simetrice \u00een care se schimb\u0103 pozi\u021bia \u0219i orientarea gresiei sunt numite mi\u0219c\u0103ri rigide. Fiecare mi\u0219care rigid\u0103 \u00een plan este o combina\u021bie \u00eentre o transla\u021bie, o rota\u021bie \u0219i o reflexie, probabil una dintre aceste componente fiind omis\u0103.<\/p>\n
Imagina\u021bi-v\u0103 un triunghi \u0219i o copie rigid\u0103 a acestuia \u00een alt\u0103 parte a planului. Cum putem muta primul triunghi pentru a \u00eel face s\u0103 se potriveasc\u0103 exact deasupra celui de-al doilea? \u00centai, \u00eel translat\u0103m p\u00e2n\u0103 c\u00e2nd v\u00e2rful triunghiului original corespunde cu v\u00e2rful copiei. Al doilea pas (dac\u0103 este necesar), este s\u0103 rotim triunghiul \u00een jurul v\u00e2rfului p\u00e2n\u0103 c\u00e2nd una dintre laturi coincide \u0219i\u00a0 se atinge cu latura corespunz\u0103toare a copiei.<\/p>\n
Acum sunt dou\u0103 posibilit\u0103\u021bi. Prima: originalul \u0219i copia coincid. \u00cen acest caz, nu trebuie s\u0103 faci nimic- cerin\u021ba este rezolvat\u0103 \u0219i far\u0103 o concluzie final\u0103. A doua: originalul \u0219i copia sunt acum imagini \u00een oglind\u0103 una alteia, reflectate \u00een latura lor comun\u0103. Acum, reflect\u0103 originalul pentru a \u00eel face s\u0103 coincid\u0103 cu copia. Este gata!<\/p>\n
Pentru a ilustra clasificarea matematic\u0103 a modelelor de gresie, voi \u00eencepe cu cele cu aceea\u0219i form\u0103 de poligon regulat. Mai mult dec\u00e2t at\u00e2t: voi insista pe faptul c\u0103, atunci c\u00e2nd se \u00eent\u00e2lnesc, col\u021burile lor trebuie s\u0103 coincid\u0103, f\u0103r\u0103 ca v\u00e2rfurile unuia dintre triunghiuri s\u0103 se afle pe marginea celuilalt. Date fiind toate acestea, putem observa faptul c\u0103 exist\u0103 doar trei posibilit\u0103\u021bi: triunghiuri echilaterale, aranjate \u0219ase \u00een jurul unui v\u00e2rf; p\u0103trate, aranjate patru \u00een jurul unui v\u00e2rf; hexagoane, aranjate trei \u00een jurul unui v\u00e2rf, \u00eentr-o form\u0103 asemenea unui stup de albine.<\/p>\n
De ce nu exist\u0103 \u0219i alte posibilit\u0103\u021bi? De ce nu sunt \u0219i pentagoane, de exemplu? Punctul cheie este acela ca unghiurile fiec\u0103rui v\u00e2rf trebuie s\u0103 se potriveasca exact, f\u0103r\u0103 goluri \u0219i f\u0103r\u0103 suprapuneri. Astfel, m\u0103sura unghiului poligonului trebuie s\u0103 fie un numar intreg, divizor al celor 360 de grade. Acest lucru se \u00eentampl\u0103 la triunghiurile echilaterale (60 de grade, o \u0219esime din 360 de grade), la p\u0103trate (90 de grade, un sfert din 360 de grade) \u0219i la hexagoane (120, o treime din 360 de grade). Dar, nu func\u021bioneaza \u0219i pentru pentagoane (108 grade): trei pentagoane formeaz\u0103 un gol \u0219i patru suprapuneri. Nu func\u021bioneaz\u0103 nici pentru alt poligon regulat cu \u0219apte sau mai multe laturi. Aceste trei posibilit\u0103\u021bi poart\u0103 numele de tesel\u0103ri regulate.<\/p>\n
Dac\u0103 sunt permise mai multe poligoane diferite, atunci, gama de modele va cre\u0219te considerabil. Aplic\u00e2nd aceea\u0219i g\u00e2ndire despre modul \u00een care se potrivesc unghiurile, sunt exact nou\u0103, a\u0219a numite, plac\u0103ri semiregulate diferite, ceea ce \u00eenseamn\u0103 c\u0103 pl\u0103cile sunt toate poligoane regulate, se \u00eent\u00e2lnesc v\u00e2rf la v\u00e2rf \u0219i aranjamentul la fiecare v\u00e2rf este la fel. \u0218apte dintre aceste pl\u0103ci sunt la fel ca \u0219i imaginile lor \u00een oglind\u0103; celelalte dou\u0103 sunt o pereche de imagini \u00een oglind\u0103. De exemplu, dac\u0103 \u00eencerc\u0103m s\u0103 potrivim octagoane \u00eempreun\u0103 precum gresia din baie, vom observa c\u0103 exist\u0103 goluri p\u0103trate, care pot fi umplute cu gresie p\u0103trat\u0103. \u00cen acela\u0219i fel, hexagoanele care se \u00eentalnesc v\u00e2rf pe v\u00e2rf, vor crea goluri \u00een forme triunghiulare. Hexagoanele pot fi \u00eenconjurate altern\u00e2nd p\u0103trate \u0219i triunghiuri; dodecadoane formate din triunghiuri.<\/p>\n
\u00cen termeni artistici, modelele de gresie au atins apogeul \u00een operele arti\u0219tilor islamici, \u00een decorarea moscheelor \u0219i alte lucr\u0103ri de arhitectur\u0103. Pentru unele dintre cele mai complexe modele de mozaic, arti\u0219tii se folosesc de poligoanele neregulate. De exemplu, exist\u0103 un model bazat, din c\u00e2te se pare, pe poligoane regulate cu 4, 5, 6, 7 \u0219i 8 laturi. \u00cens\u0103, dac\u0103 aceste pl\u0103ci de gresie erau regulate, unghiurile \u00een care se \u00eent\u00e2lneau poligoanele nu ar putea s\u0103 rezulte, adunate, 360 de grade, a\u0219a cum ar trebui dac\u0103 pl\u0103cile s-ar potrivi exact. Artistul a distorsionat cu viclenie pl\u0103cile cu cinci \u0219i sapte laturi pentru a ascunde discrepan\u021ba, dar schimb\u0103rile sunt at\u00e2t de mici, \u00eenc\u00e2t ochiul uman nu sesizeaz\u0103 iregularit\u0103\u021bile.<\/p>\n
Exist\u0103 trei modalit\u0103\u021bi de placare ale unui plan, folosind poligoanele regulate; cu p\u0103trate (1), cu hexagoane (2), sau cu triunghiuri echilaterale (3). \u0218tim c\u0103 nu exist\u0103 alte pl\u0103ci regulate pentru c\u0103 unghiurile, la col\u021buri, atunci c\u00e2nd sunt adunate, trebuie s\u0103 dea 360 de grade. Exist\u0103 doar trei moduri de a realiza acest lucru cu poligoane regulate: folose\u0219te patru p\u0103trate, fiecare cu unghiurile de 90 de grade; trei hexagoane, fiecare cu unghiuri de 120 de grade; sau \u0219ase triunghiuri, toate cu unghiuri de 60 de grade. Exist\u0103, de asemenea, pl\u0103ci semiregulate, folosind poligoane diferite, aranjate \u00een mod repetitiv.<\/p>\n
Exemplul de mai sus, introdus copiilor mai \u00eent\u00e2i ca tem\u0103 de studiu individual \u0219i apoi discutat si detaliat \u00een timpul unei ore, precum \u0219i altele privind simetria, \u0219irul lui Fibonacci, alte modele geometrice \u00een natur\u0103 trezesc interesul elevilor \u0219i le stimuleaz\u0103 creativitatea \u0219i g\u00e2ndirea critic\u0103.<\/p>\n
Bibliografie<\/strong><\/em><\/p>\n Ian Steward (2017), The beauty of number in nature, MIT press<\/p>\n Tristan Needham (2021), Visual Differential Geometry and Forms , Princeton University Press<\/p>\n books.google.co.in\/books?id=VIRL6aUD5jMC&printsec=frontcover<\/a><\/p>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Unul\u00a0 dintre cele mai provocatoare lucruri \u00een meseria de profesor de matematic\u0103 este atragerea elevilor c\u0103tre studiul aprofundat al acestei discipline \u0219i con\u0219tientizarea aplicabilit\u0103\u021bii practice a matematicii. De aceea, de-a lungul anilor, am c\u0103utat diverse modalit\u0103\u021bi de a \u00eembina aceste … Cite\u0219te continuarea