Studiul matematicii \u00een \u015fcoal\u0103 contribuie la formarea \u015fi dezvoltarea capacit\u0103\u0163ii elevilor de a reflecta asupra lumii, de a formula \u015fi rezolva probleme pe baza rela\u0163ion\u0103rii cuno\u015ftin\u0163elor din diferite domenii, precum \u015fi la \u00eenzestrarea cu un set de competen\u0163e, valori \u015fi atitudini menite s\u0103 asigure o integrare profesional\u0103 optim\u0103. Printre disciplinele matematice, algebra joac\u0103 un rol fundamental. Cele mai variate probleme presupun utilizarea numerelor reale \u015fi (sau) rezolvarea de ecua\u0163ii algebrice. Ecua\u0163iile joac\u0103 un rol esen\u0163ial \u00een algebr\u0103 \u0219i mai ales \u00een via\u021ba noastr\u0103. Via\u0163a, natura, societatea, sunt supuse unor legi care se exprim\u0103 prin ecua\u0163ii care exist\u0103 chiar dac\u0103 vrem noi sau nu, de aceea trebuie s\u0103 acord\u0103m o aten\u021bie deosebit\u0103 acestui capitol important al matematicii. <\/p>\n
Prin programa analitic\u0103, pentru realizarea competen\u0163elor generale ale \u00eenv\u0103\u0163\u0103m\u00e2ntului matematic \u00een gimnaziu, se prevede s\u0103 se formeze la elevi cuno\u015ftin\u0163e \u015fi deprinderi de a rezolva ecua\u0163ii c\u00e2t mai devreme, chiar din primele clase primare. Elevii vin \u00een contact cu ecua\u0163iile \u00eenc\u0103 din clasa \u00eent\u00e2i, f\u0103r\u0103 a folosi acest cuv\u00e2nt, prin exerci\u0163ii de forma 8+?=14.<\/p>\n
Se consider\u0103 c\u0103 cel mai r\u0103sp\u00e2ndit procedeu de introducere a no\u0163iunii de ecua\u0163ie \u00een \u015fcoal\u0103 este de a porni de la o problem\u0103 \u015fi de a o pune \u00een ecua\u0163ie . Acest procedeu este util, deoarece \u00een felul acesta elevii v\u0103d de la \u00eenceput rostul ecua\u0163iilor. Abia dup\u0103 ce elevii \u015fi-au dat seama, pe baza exemplelor, ce este o ecua\u0163ie, se explic\u0103 originea cuv\u00e2ntului ecua\u0163ie ( din cuv\u00e2ntul latin aequus-egal, care se reg\u0103se\u015fte \u00een cuv\u00e2ntul echilibru, echidistant), se arat\u0103 c\u0103 fiecare ecua\u0163ie este format\u0103 din dou\u0103 p\u0103r\u0163i sau doi membri \u015fi se explic\u0103 sensul cuvintelor r\u0103d\u0103cin\u0103 sau solu\u0163ie (a satisface, a rezolva).<\/p>\n
Pentru a putea rezolva ecua\u0163ii, elevii trebuie s\u0103 cunoasc\u0103 patru reguli foarte simple. Aceste propozi\u0163ii sunt aplica\u0163ii ale principiului identit\u0103\u0163ii: dac\u0103 avem dou\u0103 lucruri egale \u015fi le supunem la acelea\u015fi modific\u0103ri ob\u0163inem tot lucruri egale. Matematic vorbind cele spuse mai sus\u00a0 le putem rezuma astfel: Din activitatea la clas\u0103 constat\u0103m c\u0103 elevii fac afirma\u0163ii ca: \u201dPentru a rezolva o ecua\u0163ie trecem termenii cu x \u00eentr-un membru \u015fi cei f\u0103r\u0103 x \u00een cel\u0103lalt membru, schimb\u00e2ndu-le semnul\u201d. Aceast\u0103 formulare, care a devenit automatism, este ne\u00een\u0163eleas\u0103 de ei \u015fi pentru a-i face s\u0103 con\u015ftientizeze aceste lucruri apel\u0103m (\u00een special la clasele a V-a \u015fi a VI-a) la exemple concrete.<\/p>\n Ecua\u0163ii\u00a0 studiate \u00een gimnaziu<\/strong><\/p>\n Ecua\u0163iile cu o singur\u0103 necunoscut\u0103 care se studiaz\u0103 \u00een \u015fcoala gimnazial\u0103 sunt cele de gradul I \u0219i de gradul al II-lea.<\/p>\n Rezolvarea ecua\u021biei de gradul I poate fi pe deplin \u00een\u0163eleas\u0103 dac\u0103 apel\u0103m la\u00a0 practic\u0103. Leg\u0103tura cu practica nu se realizeaz\u0103 prin aplica\u0163ii for\u0163ate, ci prin modul \u00een care se pred\u0103 algebra \u00een ansamblul ei.\u00a0 Dar trebuie s\u0103 \u00een\u0163elegem c\u0103 ar fi o denaturare a algebrei s\u0103 c\u0103ut\u0103m probleme practice pentru fiecare tem\u0103 \u00een parte.<\/p>\n Un model este cel cu balansoarul. Dac\u0103, de exemplu, se consider\u0103 un balansoar astfel \u00eenc\u00e2t de o parte avem un copil \u0219i\u00a0 3 kg, iar de cealalt\u0103 parte 25 kg, astfel \u00eenc\u00e2t sc\u00e2ndura s\u0103 fie orizontal\u0103, lu\u00e2nd\u00a0 ca necunoscut\u0103 greutatea copilului, pe care o not\u0103m cu x, putem forma o ecua\u021bie de gradul I. Ideea practic\u0103 este de a lua de la ambele capete cantit\u0103\u0163i egale p\u00e2n\u0103 ce la un cap\u0103t r\u0103m\u00e2ne copilul, iar la cel\u0103lalt cap\u0103t r\u0103m\u00e2n greut\u0103\u0163i astfel \u00eenc\u00e2t sc\u00e2ndura s\u0103 fie orizontal\u0103.<\/p>\n Alt model este cel cu balan\u0163a. Vom considera un s\u0103cule\u0163 sau mai multe s\u0103cule\u0163e cu monede \u015fi monede care nu sunt \u00een s\u0103cule\u0163. \u00cen locul s\u0103cule\u0163elor \u015fi monedelor pot fi folosite alte obiecte. Dac\u0103 dintr-un s\u0103cule\u0163 lipsesc monede se deseneaz\u0103 pe sac at\u00e2tea cercule\u0163e c\u00e2te monede lipsesc. Ca necunoscut\u0103 lu\u0103m num\u0103rul monedelor dintr-un s\u0103cule\u0163. Ca \u0219i la cealalt\u0103 metod\u0103 ideea este de a lua din ambele p\u0103r\u021bi acela\u0219i\u00a0 num\u0103r de monede p\u00e2n\u0103 c\u00e2nd putem determina c\u00e2te monede sunt \u00eentr-un sac.<\/p>\n \u00cen concluzie la ecua\u021biile de gradul I, regula este de a efectua opera\u0163iile inverse \u00een ordine invers\u0103 p\u00e2n\u0103 c\u00e2nd se determin\u0103 necunoscuta. Aceast\u0103 etap\u0103 poate fi considerat\u0103 etapa de concretizare \u015fi este specific\u0103 claselor primare \u015fi claselor a cincea \u015fi a \u015fasea.<\/p>\n A doua etap\u0103 \u00eencepe cu clasa a VII-a \u015fi este etapa algoritmiz\u0103rii, ultima etap\u0103 fiind cea de abstractizare \u015fi este specific\u0103 elevilor de liceu. Ecua\u0163iile echivalente sunt prezentate mai bine \u00eencep\u00e2nd cu clasa a VII-a. No\u0163iunea de ecua\u0163ii echivalente este foarte important\u0103 deoarece cele mai multe ecua\u0163ii se rezolv\u0103 dup\u0103 procedeul urm\u0103tor: \u00cen \u015fcoal\u0103, teoremele despre echivalen\u0163a ecua\u0163iilor se predau de obicei sumar, nu se arat\u0103 cu destul\u0103 precizie \u00een ce condi\u0163ie o ecua\u0163ie se poate transforma \u00eentr-o\u00a0 alt\u0103 ecua\u0163ie echivalent\u0103 cu ea \u015fi din cauza aceasta se introduc \u201er\u0103d\u0103cini str\u0103ine\u201d sau \u201ese pierd\u201d r\u0103d\u0103cini. De aceea orice ecua\u0163ie f(x)=g(x) trebuie considerat\u0103 pe o anumit\u0103 mul\u0163ime (care con\u0163ine numai valori pentru care at\u00e2t expresia f, c\u00e2t \u015fi g s\u0103 aib\u0103 sens), c\u0103ci existen\u0163a \u015fi num\u0103rul solu\u0163iilor depind de acea mul\u0163ime.<\/p>\n Studiul ecua\u021biilor de gradul al II-lea\u00a0 se \u00eencepe \u00een clasa a VIII-a, cu formele incomplete. Elevii trebuie s\u0103\u2013\u015fi \u00eensu\u015feasc\u0103, mai \u00eent\u00e2i, prin exemple numerice procedeele dup\u0103 care se rezolv\u0103 formele incomplete, nu pe baz\u0103 de formule. Pentru rezolvarea formei complete, demonstra\u0163ia formulei trebuie preg\u0103tit\u0103 prin rezolvarea f\u0103r\u0103 formul\u0103 a unui num\u0103r necesar de ecua\u0163ii. Se va porni de la exemple simple de restr\u00e2ngere a p\u0103tratului unui binom \u015fi se va\u00a0 continua cu exemple de completare a unui\u00a0 p\u0103tratului unui binom.<\/p>\n Profesorul arat\u0103 c\u0103 aceste procedee nu sunt totdeauna la \u00eendem\u00e2n\u0103, necesit\u00e2nd calcule lungi \u015fi de aceea aceste transform\u0103ri se fac o dat\u0103 pentru totdeauna pe ecua\u0163ia general\u0103, \u015fi se ob\u0163ine o formul\u0103 care permite s\u0103 se afle u\u015for r\u0103d\u0103cinile. Este recomandabil s\u0103 se trateze \u00een paralel o ecua\u0163ie cu coeficien\u0163i numerici \u015fi cazul general.<\/p>\n De asemenea, trebuie s\u0103 se arate elevilor c\u0103 formula se poate aplica \u015fi \u00een cazul ecua\u0163iilor incomplete, adic\u0103 ea este general\u0103. Pentru ca elevii s\u0103 nu uite procedeul dup\u0103 care se deduce formula de rezolvare a ecua\u0163iei de gradul al II-lea, este util ca dup\u0103 ce ei s-au obi\u015fnuit s\u0103 o aplice \u00een mod automat, s\u0103 le cerem din c\u00e2nd \u00een c\u00e2nd s\u0103 rezolve o ecua\u0163ie de gradul al II-lea f\u0103r\u0103 a folosi formula, prin formarea p\u0103tratului unui binom.<\/p>\n Observa\u0163ii privind predarea ecua\u0163iilor \u00een gimnaziu<\/strong><\/p>\n La ecua\u0163iile cu o necunoscut\u0103, elevii trebuie s\u0103 se rezolve foarte multe ecua\u0163ii simple, care nu con\u0163in calcule intermediare, dup\u0103 care se poate trece la ecua\u0163ii mai complicate. Nu este necesar s\u0103 se dea \u00een \u015fcoala general\u0103 o mare extindere rezolv\u0103rii ecua\u0163iilor cu parametru. Rezolvarea unei astfel de ecua\u0163ii implic\u0103\u00a0 totdeauna o discu\u0163ie, care este destul de grea pentru \u015fcoala general\u0103, iar dac\u0103 se rezolv\u0103 ecua\u0163ia f\u0103r\u0103 a se face discu\u0163ia, elevii se obi\u015fnuiesc s\u0103 \u00eempart\u0103 printr-o expresie algebric\u0103 f\u0103r\u0103 s\u0103 se asigure c\u0103 acea expresie este diferit\u0103 de zero. Este necesar, totu\u015fi, s\u0103 se rezolve unele ecua\u0163ii literale mai simple, s\u0103 se reia unele formule pe care elevii le cunosc din clasele anterioare \u015fi s\u0103 rezolve ecua\u0163iile \u00een raport cu toate literele.<\/p>\n Concluzii<\/strong><\/p>\n Prin rezolvarea problemelor cu ajutorul ecua\u0163iilor, cuno\u015ftin\u0163ele de algebr\u0103 ale elevilor de gimnaziu\u00a0 se \u00eencheag\u0103 , \u00een sensul c\u0103 aici se aplic\u0103 aproape tot ce au \u00eenv\u0103\u0163at ei la algebr\u0103.. Totu\u015fi lucrurile nu se opresc aici, pentru c\u0103, de la banala ecua\u0163ie de gradul I, \u00een numere reale \u015fi p\u00e2n\u0103 la ecua\u0163ia algebric\u0103 de gradul n, cu coeficien\u0163i complec\u015fi, e un lung drum \u00eenceput \u00een gimnaziu, continuat \u00een liceu \u015fi apoi la facultate.<\/p>\n Faptul c\u0103 elevii, \u00eenv\u0103\u0163\u00e2nd algebra, se ridic\u0103 la cea de-adoua treapt\u0103 de abstractizare folosind nota\u0163iile algebrice corespunz\u0103toare, c\u0103 \u00eenva\u0163\u0103 s\u0103 foloseasc\u0103 un instrument matematic cum sunt ecua\u0163iile nu pot r\u0103m\u00e2ne f\u0103r\u0103 efect asupra forma\u0163iei lor intelectuale. Deprinderile pe care \u015fi le formeaz\u0103 vor fi valorificate sub diferite forme, oricare ar fi activitatea lor viitoare.<\/p>\n Bibliografie:<\/strong><\/em> Studiul matematicii \u00een \u015fcoal\u0103 contribuie la formarea \u015fi dezvoltarea capacit\u0103\u0163ii elevilor de a reflecta asupra lumii, de a formula \u015fi rezolva probleme pe baza rela\u0163ion\u0103rii cuno\u015ftin\u0163elor din diferite domenii, precum \u015fi la \u00eenzestrarea cu un set de competen\u0163e, valori \u015fi … Cite\u0219te continuarea
\nDac\u0103 dou\u0103 numere sunt egale \u015fi le adun\u0103m cu acela\u015fi num\u0103r sau sc\u0103dem din ele acela\u015fi num\u0103r, sau le \u00eenmul\u0163im cu acela\u015fi num\u0103r, sau le \u00eemp\u0103r\u0163im prin acela\u015fi num\u0103r (diferit de zero), ob\u0163inem numere egale.<\/em><\/p>\n
\n– ecua\u0163ia dat\u0103 E se transform\u0103 \u00eentr-o ecua\u0163ie\u00a0\u00a0 echivalent\u0103 cu ea, cu ecua\u0163ia\u00a0\u00a0 se procedeaz\u0103 la fel \u015f.a.m.d., p\u00e2n\u0103 c\u00e2nd se ajunge la o ecua\u0163ie care se poate rezolva u\u015for.<\/p>\n
\nSchema dup\u0103 care se rezolv\u0103 ecua\u0163iile \u00een gimnaziu (se elimin\u0103 numitorii, se desfac parantezele, se separ\u0103 termenii, se reduc termenii asemenea, se afl\u0103 necunoscuta) nu trebuie impus\u0103 elevilor, ea trebuie s\u0103 reprezinte o descriere a modului de lucru, trebuie s\u0103 rezulte \u00een urma discut\u0103rii mai multor exemple \u00een clas\u0103. De asemenea consider\u0103m c\u0103 nu este indicat s\u0103 se apeleze la schema rezolv\u0103rii ecua\u0163iilor \u00een permanen\u0163\u0103, ci se pot aplica \u015fi alte metode \u00een func\u0163ie de ecua\u0163ia dat\u0103\u00a0 (care uneori se rezolv\u0103 mai u\u015for prin alte metode).<\/p>\n
\n1. Hollinger A. -Metodica pred\u0103rii algebrei \u00een \u015fcoala general\u0103, Editura Didatic\u0103 \u015fi Pedagogic\u0103, Bucure\u015fti, 1965.
\n2. Ion D., Radu N.-Algebr\u0103, Editura Didactic\u0103 \u015fi Pedagogic\u0103,\u00a0 Bucure\u015fti, 1981.
\n3. N\u0103st\u0103sescu C., Ni\u0163\u0103 C. -Teoria calitativ\u0103 a ecua\u0163iilor algebrice, EdituraTehnic\u0103, Bucure\u015fti, 1979.
\n4. Murariu P. \u2013Metodica pred\u0103rii matematicii, Editura Didactic\u0103 \u015fi Pedagogic\u0103, Bucure\u015fti, 1984.
\n5. Panaitopol L., Dr\u0103ghicescu C.J. -Polinoame \u015fi ecua\u0163ii algebrice, Editura Albatros, 1980.
\n6. Popa V. -Asupra pred\u0103rii ecua\u0163iilor \u00een \u015fcoala general\u0103, G.M.A., nr.12, 1969.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"