Aplicații practice ale matricelor

Așa cum spunea Alfred North Whitehead în lucrarea sa „Organizarea gândurilor”, „Algebra este instrumentul intelectual care a fost creat pentru redarea clară a aspectelor cantitative ale lumii ” și s-a născut din necesitățile practice ale omului, ivite pe diferite trepte de dezvoltare. Studiul algebrei este necesar atât în calculul evoluției proceselor fizice, tehnice, economice, cât și în dezvoltarea în ansamblu a matematicii. A poseda  cultură matematică rămâne una dintre axele fundamentale în dobândirea  culturii generale.
Ideea mea a luat naștere din nevoia elevilor de a cunoaște în mod direct, palpabil aplicabilitatea noțiunilor teoretice prezentate. Am remarcat de-a lungul timpului faptul că elevii prezintă o curiozitate matematică, curiozitate ce poate fi satisfăcută pornind de la exemple simple și apoi stimulată către descoperiri mai dificile.

Multe dintre problemele lumii cotidiene se pot rezolva construind modele matematice pe baza  sistemelor liniare de ecuații. Din dorința de a le arată elevilor caracterul practic al matematicii, precum și de a integra în curriculum cât mai multe aplicații din viața cotidiană problemele aplicative sunt din ce în ce mai prezente în manualele școlare, culegeri și subiecte date la examenele naționale.

În cadrul unui curriculum la decizia școlii desfășurat în anii anteriori mi-am propus să prezint elevilor de clasa a XI-a aplicații practice inedite ale matricelor și determinanților. Aceștia au o scară largă de aplicabilitate, pornind de la probleme de amestecuri regăsite în chimie, probleme legate de costuri ce pot fi studiate în cadrul orelor de educație financiară, probleme de transport și optimizarea rețelelor studiate la informatică, probleme legatede dispozitive medicale, etc.

O aplicație foarte apreciată a matricelor se regăsește în criptografie supranumită știința scrierilor secrete. Ramură a  matematicii care se ocupă cu secretizarea informației, precum și cu autentificarea și restricționarea unui sistem informatic, criptografia a fost folosită din timpuri străvechi.  Împăratul Iulius Cezar s-a folosit de criptare pentru a transmite informații armatelor sale încă din vremuri antice.

În momentul actual, criptografia se bazează pe programe extrem de complexe pentru a asigura securitatea din diverse domenii, mai ales din domeniul bancar.

Deși aparent complicat, algoritmul de decodare este foarte ușor de aplicat. Deoarece matricea de codare este de obicei o matrice de tipul 3X3,  mesajul se așează într-o matrice cu 3 linii.

Folosind calculul matricial ce presupune operații cu matrice și calcularea inversei unei matrice și folosind corespondența dintre litere și numere se pot obține  mesaje de genul:

23	8	15	0	9	19	0	3	1	18	12	0	7	1	21	19	19	0
W	H	O		I	S		C	A	R	L		G	A	U	S	S

Mesajul decodat poate fi un început al discuției cu elevii referitor la viața și realizările  lui Carl Gauss, o invitație la descoperire. Elevilor li s-au prezentat două exemple simple de codare cu ajutorul  matricelor și apoi au primit sarcini diverse cum ar fi: decodarea unui mesaj din sticlă, codarea unui anumit mesaj dat, inventarea unui model propriu simplu de codare și explicarea acestuia întregii clase. Activitățile au fost organizate atât individual, cât și în grupe de lucru pentru a dezvolta colaborarea și spiritul de echipă.

În urma activităților desfășurate am observat un interes ridicat pentru studiul în detaliu al acestui capitol, un grad mai mare de preocupare pentru studiul individual, dar și o bună colaborare între elevii clasei, lucru dezirabil după perioada pandemiei. La sfârșitul anului școlar am aplicat elevilor un chestionar de satisfacție referitor la acest curs și am descoperit că elevii s-au declarat extrem de multumiți, procentul celor care ar dori o continuare a cursului fiind de 80%, iar  metodele de criptare s-au situat pe prima poziție în cadrul preferințelor elevilor.

Astfel, în opinia mea, îmbinarea noțiunilor practice, palpabile, cotidiene cu cele teoretice reprezintă o metodă de succes în abordarea matematicii și atragerea elevilor către reușite și performanță.

Bibliografie

M. Bellare, S. Goldwasser, (2001), Lecture Notes on Cryptography, Curs: MIT, disponibil la www.cs.ucsd.edu/users/mihir/papers/gb.html.
M. Bellare, P. Rogaway, (1995), Optimal asymetric encryption – How to encrypt with RSA, Advances in Cryptology – EuroCrypt 94, LNCS vol. 950, Springer-Verlag