Despre studiul ecuaţiilor

Studiul matematicii în şcoală contribuie la formarea şi dezvoltarea capacităţii elevilor de a reflecta asupra lumii, de a formula şi rezolva probleme pe baza relaţionării cunoştinţelor din diferite domenii, precum şi la înzestrarea cu un set de competenţe, valori şi atitudini menite să asigure o integrare profesională optimă. Printre disciplinele matematice, algebra joacă un rol fundamental. Cele mai variate probleme presupun utilizarea numerelor reale şi (sau) rezolvarea de ecuaţii algebrice. Ecuaţiile joacă un rol esenţial în algebră și mai ales în viața noastră. Viaţa, natura, societatea, sunt supuse unor legi care se exprimă prin ecuaţii care există chiar dacă vrem noi sau nu, de aceea trebuie să acordăm o atenție deosebită acestui capitol important al matematicii.

Prin programa analitică, pentru realizarea competenţelor generale ale învăţământului matematic în gimnaziu, se prevede să se formeze la elevi cunoştinţe şi deprinderi de a rezolva ecuaţii cât mai devreme, chiar din primele clase primare. Elevii vin în contact cu ecuaţiile încă din clasa întâi, fără a folosi acest cuvânt, prin exerciţii de forma 8+?=14.

Se consideră că cel mai răspândit procedeu de introducere a noţiunii de ecuaţie în şcoală este de a porni de la o problemă şi de a o pune în ecuaţie . Acest procedeu este util, deoarece în felul acesta elevii văd de la început rostul ecuaţiilor. Abia după ce elevii şi-au dat seama, pe baza exemplelor, ce este o ecuaţie, se explică originea cuvântului ecuaţie ( din cuvântul latin aequus-egal, care se regăseşte în cuvântul echilibru, echidistant), se arată că fiecare ecuaţie este formată din două părţi sau doi membri şi se explică sensul cuvintelor rădăcină sau soluţie (a satisface, a rezolva).

Pentru a putea rezolva ecuaţii, elevii trebuie să cunoască patru reguli foarte simple. Aceste propoziţii sunt aplicaţii ale principiului identităţii: dacă avem două lucruri egale şi le supunem la aceleaşi modificări obţinem tot lucruri egale. Matematic vorbind cele spuse mai sus  le putem rezuma astfel:
Dacă două numere sunt egale şi le adunăm cu acelaşi număr sau scădem din ele acelaşi număr, sau le înmulţim cu acelaşi număr, sau le împărţim prin acelaşi număr (diferit de zero), obţinem numere egale.

Din activitatea la clasă constatăm că elevii fac afirmaţii ca: ”Pentru a rezolva o ecuaţie trecem termenii cu x într-un membru şi cei fără x în celălalt membru, schimbându-le semnul”. Această formulare, care a devenit automatism, este neînţeleasă de ei şi pentru a-i face să conştientizeze aceste lucruri apelăm (în special la clasele a V-a şi a VI-a) la exemple concrete.

Ecuaţii  studiate în gimnaziu

Ecuaţiile cu o singură necunoscută care se studiază în şcoala gimnazială sunt cele de gradul I și de gradul al II-lea.

Rezolvarea ecuației de gradul I poate fi pe deplin înţeleasă dacă apelăm la  practică. Legătura cu practica nu se realizează prin aplicaţii forţate, ci prin modul în care se predă algebra în ansamblul ei.  Dar trebuie să înţelegem că ar fi o denaturare a algebrei să căutăm probleme practice pentru fiecare temă în parte.

Un model este cel cu balansoarul. Dacă, de exemplu, se consideră un balansoar astfel încât de o parte avem un copil și  3 kg, iar de cealaltă parte 25 kg, astfel încât scândura să fie orizontală, luând  ca necunoscută greutatea copilului, pe care o notăm cu x, putem forma o ecuație de gradul I. Ideea practică este de a lua de la ambele capete cantităţi egale până ce la un capăt rămâne copilul, iar la celălalt capăt rămân greutăţi astfel încât scândura să fie orizontală.

Alt model este cel cu balanţa. Vom considera un săculeţ sau mai multe săculeţe cu monede şi monede care nu sunt în săculeţ. În locul săculeţelor şi monedelor pot fi folosite alte obiecte. Dacă dintr-un săculeţ lipsesc monede se desenează pe sac atâtea cerculeţe câte monede lipsesc. Ca necunoscută luăm numărul monedelor dintr-un săculeţ. Ca și la cealaltă metodă ideea este de a lua din ambele părți același  număr de monede până când putem determina câte monede sunt într-un sac.

În concluzie la ecuațiile de gradul I, regula este de a efectua operaţiile inverse în ordine inversă până când se determină necunoscuta. Această etapă poate fi considerată etapa de concretizare şi este specifică claselor primare şi claselor a cincea şi a şasea.

A doua etapă începe cu clasa a VII-a şi este etapa algoritmizării, ultima etapă fiind cea de abstractizare şi este specifică elevilor de liceu. Ecuaţiile echivalente sunt prezentate mai bine începând cu clasa a VII-a. Noţiunea de ecuaţii echivalente este foarte importantă deoarece cele mai multe ecuaţii se rezolvă după procedeul următor:
– ecuaţia dată E se transformă într-o ecuaţie   echivalentă cu ea, cu ecuaţia   se procedează la fel ş.a.m.d., până când se ajunge la o ecuaţie care se poate rezolva uşor.

În şcoală, teoremele despre echivalenţa ecuaţiilor se predau de obicei sumar, nu se arată cu destulă precizie în ce condiţie o ecuaţie se poate transforma într-o  altă ecuaţie echivalentă cu ea şi din cauza aceasta se introduc „rădăcini străine” sau „se pierd” rădăcini. De aceea orice ecuaţie f(x)=g(x) trebuie considerată pe o anumită mulţime (care conţine numai valori pentru care atât expresia f, cât şi g să aibă sens), căci existenţa şi numărul soluţiilor depind de acea mulţime.

Studiul ecuațiilor de gradul al II-lea  se începe în clasa a VIII-a, cu formele incomplete. Elevii trebuie să–şi însuşească, mai întâi, prin exemple numerice procedeele după care se rezolvă formele incomplete, nu pe bază de formule. Pentru rezolvarea formei complete, demonstraţia formulei trebuie pregătită prin rezolvarea fără formulă a unui număr necesar de ecuaţii. Se va porni de la exemple simple de restrângere a pătratului unui binom şi se va  continua cu exemple de completare a unui  pătratului unui binom.

Profesorul arată că aceste procedee nu sunt totdeauna la îndemână, necesitând calcule lungi şi de aceea aceste transformări se fac o dată pentru totdeauna pe ecuaţia generală, şi se obţine o formulă care permite să se afle uşor rădăcinile. Este recomandabil să se trateze în paralel o ecuaţie cu coeficienţi numerici şi cazul general.

De asemenea, trebuie să se arate elevilor că formula se poate aplica şi în cazul ecuaţiilor incomplete, adică ea este generală. Pentru ca elevii să nu uite procedeul după care se deduce formula de rezolvare a ecuaţiei de gradul al II-lea, este util ca după ce ei s-au obişnuit să o aplice în mod automat, să le cerem din când în când să rezolve o ecuaţie de gradul al II-lea fără a folosi formula, prin formarea pătratului unui binom.

Observaţii privind predarea ecuaţiilor în gimnaziu

La ecuaţiile cu o necunoscută, elevii trebuie să se rezolve foarte multe ecuaţii simple, care nu conţin calcule intermediare, după care se poate trece la ecuaţii mai complicate.
Schema după care se rezolvă ecuaţiile în gimnaziu (se elimină numitorii, se desfac parantezele, se separă termenii, se reduc termenii asemenea, se află necunoscuta) nu trebuie impusă elevilor, ea trebuie să reprezinte o descriere a modului de lucru, trebuie să rezulte în urma discutării mai multor exemple în clasă. De asemenea considerăm că nu este indicat să se apeleze la schema rezolvării ecuaţiilor în permanenţă, ci se pot aplica şi alte metode în funcţie de ecuaţia dată  (care uneori se rezolvă mai uşor prin alte metode).

Nu este necesar să se dea în şcoala generală o mare extindere rezolvării ecuaţiilor cu parametru. Rezolvarea unei astfel de ecuaţii implică  totdeauna o discuţie, care este destul de grea pentru şcoala generală, iar dacă se rezolvă ecuaţia fără a se face discuţia, elevii se obişnuiesc să împartă printr-o expresie algebrică fără să se asigure că acea expresie este diferită de zero. Este necesar, totuşi, să se rezolve unele ecuaţii literale mai simple, să se reia unele formule pe care elevii le cunosc din clasele anterioare şi să rezolve ecuaţiile în raport cu toate literele.

Concluzii

Prin rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor, cunoştinţele de algebră ale elevilor de gimnaziu  se încheagă , în sensul că aici se aplică aproape tot ce au învăţat ei la algebră.. Totuşi lucrurile nu se opresc aici, pentru că, de la banala ecuaţie de gradul I, în numere reale şi până la ecuaţia algebrică de gradul n, cu coeficienţi complecşi, e un lung drum început în gimnaziu, continuat în liceu şi apoi la facultate.

Faptul că elevii, învăţând algebra, se ridică la cea de-adoua treaptă de abstractizare folosind notaţiile algebrice corespunzătoare, că învaţă să folosească un instrument matematic cum sunt ecuaţiile nu pot rămâne fără efect asupra formaţiei lor intelectuale. Deprinderile pe care şi le formează vor fi valorificate sub diferite forme, oricare ar fi activitatea lor viitoare.

Bibliografie:
1. Hollinger A. -Metodica predării algebrei în şcoala generală, Editura Didatică şi Pedagogică, Bucureşti, 1965.
2. Ion D., Radu N.-Algebră, Editura Didactică şi Pedagogică,  Bucureşti, 1981.
3. Năstăsescu C., Niţă C. -Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice, EdituraTehnică, Bucureşti, 1979.
4. Murariu P. –Metodica predării matematicii, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1984.
5. Panaitopol L., Drăghicescu C.J. -Polinoame şi ecuaţii algebrice, Editura Albatros, 1980.
6. Popa V. -Asupra predării ecuaţiilor în şcoala generală, G.M.A., nr.12, 1969.