Frumusețea numerelor în geometria plăcilor: teselări regulate și semiregulate ca resursă didactică pentru gândirea matematică

Unul  dintre cele mai provocatoare lucruri în meseria de profesor de matematică este atragerea elevilor către studiul aprofundat al acestei discipline și conștientizarea aplicabilității practice a matematicii. De aceea, de-a lungul anilor, am căutat diverse modalități de a îmbina aceste două deziderate, una dintre modalitățile găsite fiind crearea de CDȘ-uri atractive pentru elevi. În anii școlari trecuți, pentru clasele XI-XII am creat un CDȘ numit „Frumusețea numerelor” care să îi facă pe aceștia să descopere existența unor numere sau concepte matematice în natură sau în mediul înconjurător.
Una dintre cele mai mari creații ale societății umane este realizarea podelelor înclinate. Egiptenii așezau blocuri de piatră în modele regulate; grecii antici și romanii formau, de obicei, modele regulate în mozaicuri. Probabil cea mai simplă modalitate de așezare a plăcilor este cea a unei matrici asemănătoare cu o tablă de șah, formată din plăci pătrate, egale. În afară de pătrate, cel mai des întâlnit model de plăci folosește poligoane regulate – forme cu laturi drepte și unghiuri egale în fiecare colț.  Un triunghi echilateral este un poligon regulat cu trei laturi; un hexagon este un poligon regulat cu șase laturi. Poligoanele regulate pot avea orice număr de laturi, atât timp cât sunt mai mult de trei.

Ce fel de poligon regulat poate placa suprafața plată a unui plan, dacă putem folosi un singur tip de gresie? Răspunsul este simplu- triunghiuri echilaterale, pătrate, hexagoane și nimic altceva. Demonstrația este la fel de simplă. Când acoperi un perete sau podeaua cu gresie, folosești un număr mic de forme de bază (de obicei doar una, cum ar fi pătratul), dar poziționezi copii ale acesteia în multe poziții diferite. Transformările simetrice în care se schimbă poziția și orientarea gresiei sunt numite mișcări rigide. Fiecare mișcare rigidă în plan este o combinație între o translație, o rotație și o reflexie, probabil una dintre aceste componente fiind omisă.

Imaginați-vă un triunghi și o copie rigidă a acestuia în altă parte a planului. Cum putem muta primul triunghi pentru a îl face să se potrivească exact deasupra celui de-al doilea? Întai, îl translatăm până când vârful triunghiului original corespunde cu vârful copiei. Al doilea pas (dacă este necesar), este să rotim triunghiul în jurul vârfului până când una dintre laturi coincide și  se atinge cu latura corespunzătoare a copiei.

Acum sunt două posibilități. Prima: originalul și copia coincid. În acest caz, nu trebuie să faci nimic- cerința este rezolvată și fară o concluzie finală. A doua: originalul și copia sunt acum imagini în oglindă una alteia, reflectate în latura lor comună. Acum, reflectă originalul pentru a îl face să coincidă cu copia. Este gata!

Pentru a ilustra clasificarea matematică a modelelor de gresie, voi începe cu cele cu aceeași formă de poligon regulat. Mai mult decât atât: voi insista pe faptul că, atunci când se întâlnesc, colțurile lor trebuie să coincidă, fără ca vârfurile unuia dintre triunghiuri să se afle pe marginea celuilalt. Date fiind toate acestea, putem observa faptul că există doar trei posibilități: triunghiuri echilaterale, aranjate șase în jurul unui vârf; pătrate, aranjate patru în jurul unui vârf; hexagoane, aranjate trei în jurul unui vârf, într-o formă asemenea unui stup de albine.

De ce nu există și alte posibilități? De ce nu sunt și pentagoane, de exemplu? Punctul cheie este acela ca unghiurile fiecărui vârf trebuie să se potriveasca exact, fără goluri și fără suprapuneri. Astfel, măsura unghiului poligonului trebuie să fie un numar intreg, divizor al celor 360 de grade. Acest lucru se întamplă la triunghiurile echilaterale (60 de grade, o șesime din 360 de grade), la pătrate (90 de grade, un sfert din 360 de grade) și la hexagoane (120, o treime din 360 de grade). Dar, nu funcționeaza și pentru pentagoane (108 grade): trei pentagoane formează un gol și patru suprapuneri. Nu funcționează nici pentru alt poligon regulat cu șapte sau mai multe laturi. Aceste trei posibilități poartă numele de teselări regulate.

Dacă sunt permise mai multe poligoane diferite, atunci, gama de modele va crește considerabil. Aplicând aceeași gândire despre modul în care se potrivesc unghiurile, sunt exact nouă, așa numite, placări semiregulate diferite, ceea ce înseamnă că plăcile sunt toate poligoane regulate, se întâlnesc vârf la vârf și aranjamentul la fiecare vârf este la fel. Șapte dintre aceste plăci sunt la fel ca și imaginile lor în oglindă; celelalte două sunt o pereche de imagini în oglindă. De exemplu, dacă încercăm să potrivim octagoane împreună precum gresia din baie, vom observa că există goluri pătrate, care pot fi umplute cu gresie pătrată. În același fel, hexagoanele care se întalnesc vârf pe vârf, vor crea goluri în forme triunghiulare. Hexagoanele pot fi înconjurate alternând pătrate și triunghiuri; dodecadoane formate din triunghiuri.

În termeni artistici, modelele de gresie au atins apogeul în operele artiștilor islamici, în decorarea moscheelor și alte lucrări de arhitectură. Pentru unele dintre cele mai complexe modele de mozaic, artiștii se folosesc de poligoanele neregulate. De exemplu, există un model bazat, din câte se pare, pe poligoane regulate cu 4, 5, 6, 7 și 8 laturi. Însă, dacă aceste plăci de gresie erau regulate, unghiurile în care se întâlneau poligoanele nu ar putea să rezulte, adunate, 360 de grade, așa cum ar trebui dacă plăcile s-ar potrivi exact. Artistul a distorsionat cu viclenie plăcile cu cinci și sapte laturi pentru a ascunde discrepanța, dar schimbările sunt atât de mici, încât ochiul uman nu sesizează iregularitățile.

Există trei modalități de placare ale unui plan, folosind poligoanele regulate; cu pătrate (1), cu hexagoane (2), sau cu triunghiuri echilaterale (3). Știm că nu există alte plăci regulate pentru că unghiurile, la colțuri, atunci când sunt adunate, trebuie să dea 360 de grade. Există doar trei moduri de a realiza acest lucru cu poligoane regulate: folosește patru pătrate, fiecare cu unghiurile de 90 de grade; trei hexagoane, fiecare cu unghiuri de 120 de grade; sau șase triunghiuri, toate cu unghiuri de 60 de grade. Există, de asemenea, plăci semiregulate, folosind poligoane diferite, aranjate în mod repetitiv.

Exemplul de mai sus, introdus copiilor mai întâi ca temă de studiu individual și apoi discutat si detaliat în timpul unei ore, precum și altele privind simetria, șirul lui Fibonacci, alte modele geometrice în natură trezesc interesul elevilor și le stimulează creativitatea și gândirea critică.

Bibliografie

Ian Steward (2017), The beauty of number in nature, MIT press

Tristan Needham (2021), Visual Differential Geometry and Forms , Princeton University Press

books.google.co.in/books?id=VIRL6aUD5jMC&printsec=frontcover