Rezolvarea de probleme

Problemele, întâlnite în matematica școlară, reprezintă factorul decisiv în învățarea matematicii și calea principală prin care se verifică modul și gradul în care s-au asimilat noțiunile de teorie. Competența elevilor de a rezolva probleme este, de multe ori, criteriul după care sunt selectați la un examen, cum ar fi testele naționale, bacalaureatul, admiterea la facultate. Problemele au un puternic rol informativ, cu ajutorul lor se evidențiază rolul matematicii în viața curentă, respectiv putem avea calcule, măsurări, aplicații în fizică, tehnică, inginerie.
Termenul de problemă nu este clar delimitat și precizat, în limba germană avem „pro-ballein” care înseamnă „înaintea unei bariere”, „obstacol care stă în cale”, ce poate fi interpretat și ca o dificultate teoretică sau practică a cărei rezolvare presupune investigare, tatonare, căutare, pe când în etimologia greacă a cuvântului „problemă” aceasta reprezintă o „provocare” la căutare și descoperirea soluției.

Rezolvarea oricărei probleme începe cu analiza atentă a enunțului, iar acesta trebuie corect și clar formulat astfel încât el trebuie să conducă la o reținere ușoară de către elevi. La început, se poate cere elevilor să recitească enunțul, să precizeze elementele date și pe cele ce trebuie să le afle, iar apoi se pot formula unele întrebări care să-i determine pe elevi să se edifice asupra datelor problemei.

O problemă reprezintă un enunț prin care se oferă anumite informații elevilor și în care se cere să se demonstreze un fapt matematic sau să se calculeze valorile unor elemente, astfel încât rezolvarea să implice o inițiativă din partea rezolvitorului. Din acest motiv, rezolvarea de probleme este o activitate cognitivă complexă datorită operațiilor cognitive necesare obținerii soluției cât și diversității situațiilor cu care ne confruntăm. Astfel, problemele au și rol formativ în educarea gândirii creatoare prin exercițiul de gândire logică pe care îl implică.

În practica școlară, termenul de ”problemă” este dat și unor exerciții care se rezolvă prin aplicarea unei metode algoritmice sau este utilizat pentru a descrie situațiile problematice care presupun o investigare euristică.

Profesorul de matematică este implicat total în studiul problemelor, începând cu elaborarea unora dintre ele, cum este firesc pentru un profesor, continuând cu rezolvarea multora și terminând cu formarea și dezvoltarea la elevi a priceperilor și deprinderilor de rezolvare, iar uneori chiar de compunere de probleme.

Elevii trebuie încurajați de la cele mai mici clase în rezolvarea de probleme, acestea fiind alese potrivite pentru nivelul lor de gândire și cunoștințe. Profesorul oferă întrebări și recomandări elevilor într-un mod adecvat, pentru a le utiliza în rezolvarea problemelor întâlnite, folosind bunul simț și generalitatea. Elevul începe rezolvarea unei probleme după ce o înțelege pe deplin, iar acest lucru este verificat de profesor, într-o oarecare măsură, prin întrebări potrivite. Elevul trebuie să fie în stare să repete enunțul problemei, să știe care sunt necunoscutele și datele, să explice diverse condiții ale problemei. Așadar, trebuie insistat foarte mult pe formarea capacității la elevi de analiză și sinteză a problemei, a separării ipotezei de concluzie, adică a ceea ce ”se dă” de ceea ce ”se cere”, mai ales în cazul problemelor de geometrie.

Se pot distinge astfel patru etape ale muncii unui elev privind rezolvarea de probleme, și anume, mai întâi, elevii trebuie să înțeleagă problema, conținutul ei, a doua etapă constă în observarea elementelor diverse ale unei probleme, pentru a se întocmi un plan, a treia etapă constă în realizarea planului, iar în a patra etapă trebuie să privim retrospectiv soluția obținută, să o studiem și să o discutăm, potrivit lui Pὀlya G.
Înțelegerea problemei  presupune înțelegerea enunțului verbal al problemei, formularea ei în cuvinte, iar elevul trebuie să analizeze atent sub diverse aspecte părțile principale ale problemei, alegând eventual notații corespunzătoare, simboluri adecvate, dacă problema este legată de o figură geometrică, aceasta trebuie desenată și notată corect.

Ca exemplu, vom considera problema următoare: „Să se afle diagonala unui paralelipiped dreptunghic, la care cunoaștem lungimea, lățimea și înățimea.” Pentru început, aici elevii trebuie să fie familiarizați cu teorema lui Pitagora și cu unele aplicații ale ei în geometria plană, iar profesorul poate oferi ca exemplu interesant sala de clasă. Aceasta are forma unui paralelipiped dreptunghic, ale cărei dimensiuni pot fi aproximate, iar elevii trebuie ”să măsoare” cât ar fi lungimea diagonalei. Astfel, profesorul si elevii încep un dialog eficient în rezolvarea problemei propuse:
P: ”Care este necunoscuta?”
E: ”Lungimea diagonalei unui paralelipiped.”
P: ”Care sunt lungimile/datele care le cunoaștem?”
E: ”Cunoaștem lungimea, lățimea și înălțimea unui paralelipiped.”
P: ”Cu ce literă putem nota necunoscuta?”
E: ”x”
P: ”Ce litere alegeți pentru lungime, lățime și înățime?”
E: ”a, b, c .”
P: ”Care este condiția care leagă între ele a, b, c și x?”
E: ”x este diagonala, iar paralelipipedul are lungimea, lățimea și înățimea egale respectiv cu a, b, c.”

Întocmirea unui plan  poate fi uneori anevoioasă, însă lucrul cel mai bun pe care-l poate face profesorul pentru elev este de a-l ajuta într-un mod discret să ajungă la o idee strălucită, folosind întrebări și recomandări potrivite situației create.

Astfel, din aproape în aproape, elevii își dau seama că au întâlnit și rezolvat probleme asemănătoare, de exemplu, au avut situații unde aveau de calculat o latură într-un triunghi dreptunghic. În figura următoare având  un triunghi dreptunghic, și anume, cel hașurat, elevii observă că ipotenuza lui este exact diagonala căutată.

De aici înainte, realizarea planului problemei este mai ușoară, dar cu multă răbdare, bineînțeles.

Principalele reguli care trebuie cunoscute şi respectate de un rezolvitor de probleme constau în:

1. Citirea corectă a enunțului problemei şi construirea exactă a figurii (la geometrie), esențiale în evitarea erorilor de raționament. Citirea enunțului de mai multe ori nu trebuie considerată „pierdere de timp”, deoarece în cadrul acestuia sunt oferite anumite indicații pe care elevul trebuie să le poată identifica şi, cu ajutorul acestora, să caute tehnici de rezolvare.

2. Însușirea enunțului problemei constă în cunoașterea clară a datelor ipotezei, a concluziei şi a legăturii dintre acestea, a teoremelor și noțiunilor legate cu problema dată. Ea se materializează în acele câteva minute premergătoare rezolvării propriu-zise în care elevul încearcă „să simtă” problema, să o încadreze într-un cadru cunoscut. O înțelegere atentă a enunțului reduce de cele mai multe ori calculele ce trebuie efectuate pe parcursul rezolvării problemei. De exemplu: în cazul unei funcții pare, vom face studiul doar pentru valorile pozitive ale argumentului; proprietățile funcției modul pot simplifica rezolvarea unei ecuații.

3. Cunoașterea unor procedee şi metode pentru rezolvarea problemelor care să stabilească „paşi în gândirea rezolvării” (Am folosit toată ipoteza?, Ştiu o problemă asemănătoare?). De exemplu, pentru a arăta că două drepte sunt paralele, elevul cunoaşte anumite metode, cum ar fi: folosind unghiurile formate de drepte cu o secantă, găsind o perpendiculară comună sau o paralelă comună, utilizând teorema lui Thales, proprietățile coardelor în cerc, determinând un paralelogram pentru care dreptele să constituie laturi paralele etc. În funcție de particularitățile problemei, el va trebui să aleagă apoi metoda de rezolvare cea mai potrivită.

4. Construirea de raționamente noi pe baza axiomelor, definițiilor, teoremelor şi a altor raționamente învățate anterior. Pentru fiecare problemă trebuie realizată o scurtă analiză a enunțului, trebuie motivată alegerea metodei de rezolvare, mersul gândirii în procesul de rezolvare şi eventual, oferite mai multe variante de rezolvare. Toate acestea oferă motivații logice de abordare şi sprijină obținerea altor raționamente.

5. Discuția problemei. De multe ori, rezolvarea unei probleme nu se încheie cu aflarea soluției; apar situații în care trebuie examinate şi condițiile care arată existența altor soluții precizând, după caz numărul lor; sunt studiate diferite cazuri particulare care pot apărea sau se generalizează problema.

6. Verificarea soluțiilor problemei. Pe parcursul rezolvării unor ecuații (de exemplu care conțin radicali), se aplică transformări asupra ecuației inițiale care nu conduc întotdeauna la ecuații echivalente cu cea inițială. Soluțiile care se obțin pot fi doar o parte a soluțiilor ecuației inițiale (prin împărțirea ambilor membri ai ecuației cu o expresie care conține necunoscuta, fără a impune condiția ca ea să fie nenulă, prin extragerea rădăcinii pătrate din ambii membrii ai ecuației), sau se introduc soluții străine ecuației inițiale (prin înmulțirea ambilor membri ai ecuației cu o expresie care conține necunoscuta, prin ridicarea lor la pătrat, etc.). Pentru eliminarea soluțiilor străine, toate soluțiile găsite trebuie verificate în ecuația inițială.

În problemele de construcții geometrice, pentru verificarea soluțiilor, se realizează de fapt o demonstrație care arată că figura obținută corespunde cu cea cerută în enunțul problemei.

S-au cumpărat 6 pahare și 8 farfurii cu suma de 82 de lei. Cât costă o farfurie și cât costă un pahar? Această problemă are mai multe soluții, astfel, dacă un pahar costă 1 leu, atunci o farfurie costă 9,50 lei, dacă un pahar costă 2 lei, o farfurie costă 8,75 lei și așa mai departe. Nu se poate ști exact din datele problemei care este în realitate costul obiectelor.

Bibliografie
1. Ardelean, L., Secelean, N., Didactica matematicii: noțiuni generale; comunicare didactică specifică matematicii, Editura Universității ”Lucian Blaga”, Sibiu, 2007.
2. Cucurezeanu, I., Probleme de aritmetică și teoria numerelor, Editura Tehnică, București, 1976.
3. Dan, C.T., Chiosa, S.T., Didactica matematicii, Editura Universitaria, Craiova, 2008.
4. Dăncilă, I., Matematică distractivă, clasele a V-a și a VI-a, Editura Art, București, 2012.
5. Hollinger, A., Metodica predării algebrei în școala generală, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1965.
6. Kordemski, B., A., Matematică distractivă, Editura Tineretului, 1959.
7. Lăzărescu, D., Paleoaritmetică și alte probleme de logică, Editura Albatros, București,
8. Perianu, M., Smărăndoiu, Ș., Stănică, C., Matematică – clasa a V-a, Editura Art Klett, București, 2022.
9. Polya, G., Cum rezolvăm o problemă?, Editura Științifică, București, 1965.
10. Polya, G., Matematica și raționamentele plauzibile, Editura Științifică, București, 1962.
11. Polya, G., Descoperirea matematică, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1971.